上海南汇中学2009学年度高三第一学期期中考试（数学）

上海南汇中学2010届高三第一学期期中考试
数 学 试 题
本试卷共有23题，满分150分，时间120分钟。
一、填空题（每小题4分，共56分）
1．已知集合，集合 。
2．函数的最小正周期T= 。
3．方程的解是 。
4．函数= 。
5．已知= 。
6．若集合，则实数a的取值范围是
7．函数的定义域为 。
8．函数的值域是 。
9．△ABC中，若，则△ABC为 三角形。
10．设的取值范围是 。
11．如果是定义在（-3，3）上的奇函数，且当
的图象如图所示。则不等式的解集是 。
12．不等式对任意实数x恒成立，则实数a
的取值范围为 。
13．关于函数，有下列四个结论：
①为偶函数 ②当恒成立；
③的最大值为； ④的最小值为
其中结论正确的序号为 。
14．已知定义R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程在区间[-8，8]上有四个不同的根则
= 。
二、选择题（每小题4分，共16分）
15．“函数存在反函数”是“函数在R上的单调函数”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．函数是奇函数，当时，时，的表达式（ ）
A． B．
C． D．
17．若在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是
（ ）
A．（-1，0） B．（-1，1）
C． D．
18．已知函数，构造函数F（x），定义如下：当 时， （ ）
A．有最大值3，最小值-1 B．有最大值3，无最小值
C．有最大值，无最小值 D．无最大值，也无最小值
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
19．（本小题满分12分）
解不等式：
20．（本小题满分14分）第（1）小题8分，第（2）小题6分。
为了保护一种珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体。假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用为1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元。
（1）求博物馆支付总费用y与保护罩容积V之间的函数关系式；
（2）求博物馆支付总费用的最小值。
21．（本小题满分16分）第（1）题8分，第（2）题8分。
已知函数
（1）求的最大值和最小值；
（2）若不等式上恒成立，求实数m的取值范围。
22．（本题满分18分）第（1）题4分，第（2）题6分，第（3）题8分。
设函数，其中a为常数且，令函数的积函数。
（1）求函数的表达式，并求其定义域。
（2）当时，求函数的值域。
（3）是否存在自然数a，使得函数的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由。
23．（本题满分18分）第（1）题4分，第（2）题5分，第（3）题9分。
对于定义域为D的函数同时满足条件：（1）常数a，b满足，区间[a，b]，（2）使在[a，b]上的值域为，那么我们把叫做[a，b]上的“k级矩形”函数。
（1）设函数是[a，b]上的“1级矩形”函数，求常数a，b的值；
（2）是否存在常数a，b与正数k，使函数在区间[a，b]上的是“k级矩形”函数？若存在，求出a，b及k的值，若不存，说明理由。
（3）设是[a，b]上“3级矩形”函数，求出常数a，b的值。
参考答案
1．4 2．π 3． 4 4． 5． -7
6． 7．（-1，1） 8． 9．等腰直角
10． 11． 12．
13．①④ 14．-8
15—18 BADC
19．解：原不等式变形为， …………2分
所以，原不等式可化为 …………6分
即：
即： …………10分
故原不等式的解集为 …………12分
20．解：（1）设保险费用为 …………4分
即博物馆支付总费用y与V的函数关系式为
…………8分
（2），当且仅当V=4时等号成立。
博物馆支付总费用的最小值为7500元 …………14分
21．解：（1）
…………4分
…………8分
（2）上恒成立…………10分
…………14分
即m的取值范围为 …………16分
22．解：（1） …………4分
（2）
令

，即函数 …………10分
（3）假设存在这样的自然数a满足条件，
令
由于当且仅当
，综上，得。 …………18分
23．解：（1）
又为“1级矩形函数”
解得 …………4分
（2）解：假设存在a，b和正整数k，使
是[a，b]上的“k级矩形”函数，
又，不符合条件，不存在 …………9分
（3）解：的“3级矩形”函数
的值域为，
①当上单调递增，
值域
的两不等实根，（不合题意）
②当，上单调递减，值域
，无解
③当
又
综上， …………18分