2024-2025学年湖南省名校大联考高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖南省名校大联考高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则的终边在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知命题：，，命题：，，则( )
A. 和均为真命题 B. 和均为真命题
C. 和均为真命题 D. 和均为真命题
4.已知其中表示不超过的最大整数，如，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的定义域为( )
A. B.
C. D.
6.已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知某种蔬菜的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：近似满足函数关系为常数，为自然对数底数，若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
8.已知函数在上是奇函数，当时，，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角和的终边关于轴对称，则( )
A. B.
C. D.
10.已知，，，则( )
A. B. C. D.
11.若函数在区间上的值域为，则称为函数的“保值区间”，下列说法正确的是( )
A. 函数存在保值区间
B. 函数存在保值区间
C. 若一次函数存在保值区间，则或
D. 若函数存在保值区间，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知某扇形所在圆的半径为，扇形的面积为，则该扇形的圆心角正角的弧度数为______．
13.已知，，则 ______用，表示
14.已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角的终边经过点．
求，的值；
求的值．
16.本小题分
已知集合，．
若，求；
若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．
17.本小题分
已知二次函数．
当取何值时，不等式对一切实数都成立？
若在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
若，求的值；
判断在上的单调性并利用定义法证明；
求在上的最大值．
19.本小题分
现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有且．
当时，计算；
证明：，，，都有；
设，若在区间上的值域为，求实数的取值范围．
参考答案
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13.
14.
15.解：由，故角的终边经过点，
所以，
；
．
16.解：依题意，，
当时，，所以．
由“”是“”的必要不充分条件，得，
因此或，解得或，
则，所以的取值范围是．
17.解：二次函数，
因为不等式对一切实数都成立，
所以，解得．
若在区间内恰有一个零点，
当在上仅有一个零点时，由，解得，此时零点为，符合题意；
当在上有两个零点时，，即且，
当时，，则由解得另一个零点为，符合题意；
当时，，则由解得另一个零点为，符合题意；
当时，由零点存在定理，则，即，解得．
综上，在区间内恰有一个零点时，实数的取值范围为．
18.解：．
由题意可得，，
所以，即，
因为，
所以．
在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下：
任取，，且，所以，，
则，
当时，，所以，即，
当时，，所以，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，由知在上单调递减，所以；
当时，由知在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以若，则，
若，则．
综上，．
19.解：当时，；
证明：因为，
，
所以；
由新运算可知，，
所以，
令，开口向上，对称轴为，
令，得或，
又因为且，
则在上单调递减，
又因为在上的值域为，
所以，
所以在上为单调递减函数，
则，
所以在上单调递增，
则，即，
整理得，，
所以，
将代入，
得，
同理得，．
所以，是函数在上的两个不同的零点，
则，即，
解得．
故实数的取值范围为．
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