2024-2025学年湖南省名校大联考高一(上)期末数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若,则的终边在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
3.已知命题:,,命题:,,则( )
A. 和均为真命题 B. 和均为真命题
C. 和均为真命题 D. 和均为真命题
4.已知其中表示不超过的最大整数,如,则( )
A. B. C. D.
5.已知函数,则的定义域为( )
A. B.
C. D.
6.已知点在幂函数的图象上,设,则,,的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知某种蔬菜的保鲜时间单位:小时与储藏温度单位:近似满足函数关系为常数,为自然对数底数,若该品种蔬菜在时的保鲜时间为小时,在时的保鲜时间为小时,则在时,该品种蔬菜的保鲜时间大约为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
8.已知函数在上是奇函数,当时,,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知角和的终边关于轴对称,则( )
A. B.
C. D.
10.已知,,,则( )
A. B. C. D.
11.若函数在区间上的值域为,则称为函数的“保值区间”,下列说法正确的是( )
A. 函数存在保值区间
B. 函数存在保值区间
C. 若一次函数存在保值区间,则或
D. 若函数存在保值区间,则实数的取值范围为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知某扇形所在圆的半径为,扇形的面积为,则该扇形的圆心角正角的弧度数为______.
13.已知,,则 ______用,表示
14.已知函数,若关于的方程有四个不相等的实数根,则的取值范围是______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知角的终边经过点.
求,的值;
求的值.
16.本小题分
已知集合,.
若,求;
若“”是“”的必要不充分条件,求的取值范围.
17.本小题分
已知二次函数.
当取何值时,不等式对一切实数都成立?
若在区间内恰有一个零点,求实数的取值范围.
18.本小题分
已知函数.
若,求的值;
判断在上的单调性并利用定义法证明;
求在上的最大值.
19.本小题分
现定义了一种新运算“”:对于任意实数,,都有且.
当时,计算;
证明:,,,都有;
设,若在区间上的值域为,求实数的取值范围.
参考答案
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12.
13.
14.
15.解:由,故角的终边经过点,
所以,
;
.
16.解:依题意,,
当时,,所以.
由“”是“”的必要不充分条件,得,
因此或,解得或,
则,所以的取值范围是.
17.解:二次函数,
因为不等式对一切实数都成立,
所以,解得.
若在区间内恰有一个零点,
当在上仅有一个零点时,由,解得,此时零点为,符合题意;
当在上有两个零点时,,即且,
当时,,则由解得另一个零点为,符合题意;
当时,,则由解得另一个零点为,符合题意;
当时,由零点存在定理,则,即,解得.
综上,在区间内恰有一个零点时,实数的取值范围为.
18.解:.
由题意可得,,
所以,即,
因为,
所以.
在区间上单调递减,在区间上单调递增,证明如下:
任取,,且,所以,,
则,
当时,,所以,即,
当时,,所以,即,
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增.
当时,由知在上单调递减,所以;
当时,由知在上单调递减,在上单调递增,
因为,所以若,则,
若,则.
综上,.
19.解:当时,;
证明:因为,
,
所以;
由新运算可知,,
所以,
令,开口向上,对称轴为,
令,得或,
又因为且,
则在上单调递减,
又因为在上的值域为,
所以,
所以在上为单调递减函数,
则,
所以在上单调递增,
则,即,
整理得,,
所以,
将代入,
得,
同理得,.
所以,是函数在上的两个不同的零点,
则,即,
解得.
故实数的取值范围为.
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