2024-2025学年四川省雅安市高一(上)期末数学试卷
一、单选题:本题共9小题,共46分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.已知,并且是第二象限角,则的值为( )
A. B. C. D.
3.命题“,”的否定是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
4.“角为第三象限角”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
7.已知是第三象限角,化简( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义域为的偶函数,且,若时,,则( )
A. B. C. D.
9.已知实数,满足,则下列不等式中一定成立的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题:本题共2小题,共12分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
10.已知关于的不等式的解集是,其中,则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数,实数,,满足,且,则( )
A.
B.
C.
D. 函数有个互不相等的零点
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.函数的最小值为______.
13.已知,则 ______.
14.根据调查统计,某地区未来新能源汽车保有量基本满足模型,其中为饱和度,为初始值,此后第年底新能源汽车的保有量为单位:万辆,为年增长率若该地区年底的新能源汽车保有量约为万辆,以此为初始值,以后每年的增长率为,饱和度为万辆,那么年底该地区新能源汽车的保有量约为______万辆结果四舍五入保留到整数;参考数据:,,
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合,.
若,求;
若,求的取值范围.
16.本小题分
在直角坐标系内,已知角的顶点与原点重合,始边与轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点.
求值;
先化简再求值.
17.本小题分
求下列各式的值:
;
.
18.本小题分
已知函数为实数是奇函数.
求的值;
解不等式;
若实数满足,求的取值范围.
19.本小题分
已知函数,其中.
证明:函数的图象是中心对称图形;
设,证明:;
令,若,,使得,求的取值范围.
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解:或,时,,
,;
,且,
,解得,
的取值范围为:.
16.解:由题意,,,,
则;
.
17.解:
;
.
18.解:因为函数为实数是奇函数,
由奇函数的性质可得,,
所以,经检验符合题意;
由得,
整理得,,即,
故不等式的解集为;
因为为奇函数且实数满足,即,
因为在上单调递减,
所以,
解得,
故的范围为.
19.解:证明:函数的定义域为,
因为,
所以,函数的图象关于点对称,
所以,函数的图象是中心对称图形.
证明:由已知,,
设,,且,
,
因为,
即,
又,,
所以,
则,又,
所以,,
所以,在区间上单调递减,
所以;
由已知,,,使得,
则只需即可,
由可知,在区间上单调递减,根据知,函数的图象是中心对称图形,
所以在区间上单调递减,在区间上单调递减,
则时,.
函数,,
令,,则.
令设,,且,
则.
当,时,,故在区间单调递减;
当,时,,故在区间单调递增.
所以的最大值为与中的最大者,
因为,
所以,,
即,
由,
得,
解得,又,
所以,的取值范围是.
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