2024-2025学年黑龙江省绥化市哈尔滨师大青冈实验中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省绥化市哈尔滨师大青冈实验中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若一个扇形的半径为，圆心角为，则这个扇形的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数过定点，点在直线上且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度单位：可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数现有的物体，放在的空气中冷却后物体的温度是，那么该物体的温度降至还需要冷却的时间约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递增，且在上有且仅有个零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述中正确的是( )
A. 若，则
B. “，”的否定是“，”
C. ，，，则“”的充要条件是“”
D. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是
10.函数的图象，如图所示，则( )
A. 的最小正周期为
B. 函数是奇函数
C. 的图象关于点对称
D. 若在上有且仅有三个零点，则
11.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 为奇函数 B.
C. ，使得 D. ，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.已知，，则的值为______．
14.已知，函数若存在，使得，则实数的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，集合，．
若时，求，；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，．
求的值；
若，且，求的值．
17.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期和单调递增区间．
求在区间上的最大值和最小值．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求，的值；
求函数在上的值域；
设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且在上的值域为是常数，则称为比例精灵函数，为比例精灵值．
判断是否是比例精灵函数若是，求出比例精灵值；若不是，请说明理由．
若是比例精灵值为的比例精灵函数，求满足条件的区间．
若定义在上的函数是比例精灵值为的比例精灵函数，求的取值范围．
参考答案
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15.解：全集，集合，．
因为，所以，又，
所以；
因为或，
所以．
因为，所以．
若，即，可得，符合题意；
若，则，无解，
综上，的取值范围是．
16.解：因为，，
所以，
所以，，
；
因为，，且，
所以，
则．
17.解：函数
，
所以，
令，，解得，．
故的单调递增区间为，．
当时，，则，
所以，即，
所以在上最大值为当时取到，
最小值为当时取到．
18.解：由题意：，
所以，
又，
所以，．
由可知：．
设，
则，
因为，所以，，，
所以，即
所以函数在上单调递增．
又，，所以函数在上的值域为．
问题转化为，当时，恒成立．
若，则在上为增函数，由．
若，则，此时在上恒成立．
若，则在上为减函数，由．
综上可知：即实数的取值范围是：．
19.解：不是，理由如下，
假设函数是比例精灵函数，那么存在区间，使得函数的值域为．
由于函数是上的增函数，因此解得，
所以不存在区间，使得函数的值域为，所以假设不成立，
所以函数不是比例精灵函数．
由于函数是比例精灵值为的比例精灵函数，
那么存在区间，使得函数的值域为．
由于函数在和上单调递增，
因此函数是上的增函数．
因此
解得所以所求区间为．
设，
由于和在上都是增函数，
因此在上是增函数．
由于在是增函数，因此函数在上是增函数．
由于函数是比例精灵值为的比例精灵函数，
因此存在，使得函数的值域为，
所以
因此关于的方程在内有两个不同的实根，
所以关于的方程在内有两个不同的实根，
所以关于的方程在内有两个不同的实根．
设，那么．
设函数．
由于，因此．
由于，，，
当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，
因此，解得，
所以的取值范围是．
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