上海市杨浦高级中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

上海市杨浦高级中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点( 2,1,4)关于 轴对称的点坐标是( )
A. (2,1, 4) B. ( 2,1, 4) C. ( 2, 1, 4) D. (2, 1,4)
2.“ = 1”是“直线 + 1 = 0与直线 + 1 = 0相互垂直”的( )条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.设 ， 为两个随机事件，
1 1 1
①若 ， 是互斥事件 ( ) = ， ( ) = ，则 ( ∪ ) = ；
3 2 6
②若 ， 是对立事件，则 ( ∪ ) = 1；
1 2 1
③若 ， 是独立事件， ( ) = ， ( ) = ，则 ( ∩ ) = ；
3 3 9
1 1 1
④若 ( ) = ， ( ) = ，且 ( ∩ ) = ，则 ， 是独立事件．
3 4 4
以上4个命题，正确的序号选项为( )
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ②③④
4.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中，点 、 分别在线段 1和
1 1上，给出下列命题：①有且仅有一条直线 与 1垂直；②存在点 、 ，
使△ 为等边三角形，则( )
A. ①、②均为真命题
B. ①、②均为假命题
C. ①为真命题，②为假命题
D. ①为假命题，②为真命题
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。
5.“平面 与 相交于直线 ”用符号语言可以表述为______．
6.设 是一个随机事件，则 ( )的取值范围是______．
7.直线 + 1 = 0的倾斜角______．
8.已知向量 = (1, 1,3), = ( 1,0, 1)，则 在 上的投影向量的坐标是______．
9.如图是某校高二年级举办的歌咏比赛上，五位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一
个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______．
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10.以下四个命题中，所有真命题的序号为______．
①三角形(及其内部)绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；
②正棱柱的侧棱垂直于底面；
③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；
④圆锥的轴截面一定是等腰三角形．

11.直线 = 与直线 √ 3 + 1 = 0的夹角大小为______．
6
12.直线 2 2 = 0与直线 ( + 1) + 1 = 0平行，则 = ______．
13.已知 是棱长为1的正四面体.若点 满足 = + + ，其中 + + = 1，则| |的最
小值为______．
14.有一种空心钢球，质量为142 ，测得球的外直径等于5.0 ，若球壁厚度均匀，则它的内直径为
______ . (钢的密度是7.9 / 3，结果精确到0.1 )．
15.如图，已知正三角形 和正方形 的边长均为2，且二面角

的大小为 ，则 6
= ______．
16.对于平面中的点集 = {( 1, 1)，( 2, 2)， ，( , )}，定义直线 ( ) = + 相对 的“拟合误差”
为 = ∑ =1[ ( )]
2
，已知点集 3 = {(0,0)，(1,1)，(1,2)}，直线 ( ) = + 相对 3的“拟合误差”
的最小值为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 76 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
1
如图，在棱长为2的正方体中， ， 分别是 1， 的中点， 在棱 上，且 = ， 是 1 的中点.建3
立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证： ⊥ 1 ；
(2)求异面直线 与 1 所成角的余弦值．
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18.(本小题14分)
√ 3
已知直线 的斜率为 √ 3，且这条直线经过点 ( , 2)．
3
(1)求直线 的一般式方程；
(2)若直线 + 1 √ 3 = 0恒过定点 ，求点 到直线 的距离．
19.(本小题14分)
已知集合 = { 1,1,2,3}， = { 20, 8,4,9}，若分别从集合 ， 中随机抽取一个数 和 ，二次函数 ( ) =
2 1.记事件 为“[ 4,+∞)是二次函数 = ( )的单调递增区间”，事件 为“( ∞, 0]是二次函数
= ( )的单调递减区间”．
(1)求数对( , )的样本空间中所含样本点的个数；
(2)分别求事件 、事件 的概率；
(3)求事件 、事件 至少一个发生的概率．
20.(本小题16分)
为提升某校高二学生的数学素养，随机选择100名学生进行基础知识掌握情况的测评(满分100分)，根据测
评结果的得分数据，制成如图所示的频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，求 的值；
(2)估计这100名学生在测评中得分的70%分位数；
(3)若采用按比例分层抽样的方法从得分在[50,60)，[60,70)的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人
进行个别交流，求选取的2人得分分别在[50,60)和[60,70)内各1人的概率．
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21.(本小题18分)
如图所示正四棱锥 ，其中 为底面 的中心．
(1)求证： //平面 ；
2
(2)设 为 上的一点， = ．
3
①若 = = 3√ 2，求直线 与平面 所成角的大小．
②已知平面 与平面 所成锐二面角的大小为
√ 2
arctan ，若 = 3√ 2，求 的长．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】 ∩ =
6.【答案】(0,1)

7.【答案】
4
8.【答案】(2,0,2)
2
9.【答案】
3
10.【答案】②④

11.【答案】
3
12.【答案】1
√ 6
13.【答案】
3
14.【答案】4.5
15.【答案】 1
1
16.【答案】
2
17.【答案】解：(1)证明：如图，以 为原点，以射线 、 、 1分别为 轴、 轴、 轴的正半轴，建立
空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (0,0,1)， (1,1,0)， (0,2,0)， 1(0,2,2)，
4
1(2,2,2)， (0, , 0)， 3
所以 = (1,1, 1)， 1 = ( 2,0, 2)，
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所以 1 = (1,1, 1) ( 2,0, 2) = 1 × ( 2) + 1 × 0 + ( 1) × ( 2) = 0，
所以 ⊥ 1 ，
故 EF⊥ 1 ，得证；
2
(2)因为 1 = (0, , 2)， 3
2√ 10
所以| 1 | = ， 3
因为|
2 2 4
| = √ 3，且 1 = (1,1, 1) (0, , 2) = + 2 = ， 3 3 3
4
1
4 3 2 √ 30
所以cos , 1 = =
3 = = =
| || | 2√ 10
．
1 √ 3 3 2√ 30 √ 30 15
3
√ 3
18.【答案】解：(1)因为直线 的斜率为 √ 3，且这条直线经过点 ( , 2)，
3
√ 3
可得直线的方程为： 2 = √ 3( )，
3
整理可得：√ 3 + 3 = 0；
(2)直线 + 1 √ 3 = 0整理可得： ( √ 3) + 1 = 0，可得恒过定点 (√ 3, 1)，
|√ 3×√ 3+1 3| 1
可得点 到直线 ：√ 3 + 3 = 0的距离 = = ．
2 2√ (√ 3) +12
19.【答案】解：(1)由题意得 ∈ { 1,1,2,3}， ∈ { 20, 8,4,9}，
∴数对( , )的样本空间为：
= {( 1, 20)，( 1, 8)，( 1,4)，( 1,9)，(1, 20)，(1, 8)，(1, 20)，(1, 8)，(1,4)，(1,9))，(2, 20)，
(2, 8)，(2,9)，(3, 20)，(3, 8)，(3,4)，(3,8)}，
∴数对( , )的样本空间中所含样本点的个数为16；
(2)事件 为“[ 4,+∞)是二次函数 = ( )的单调递增区间”，

∴ > 0，且二次函数 = ( )的对称轴为 = ≤ 4，
2
∴事件 包含的基本事件为(1, 20)，(1, 8)，(2, 20)，共3个，
3
∴事件 的概率为 ( ) = ；
16
事件 为“( ∞,0]是二次函数 = ( )的单调递减区间”．

∴ > 0，且二次函数的对称轴为 = ≥ 0，
2
事件 包含的基本事件有(1,4)，(1,9)，(2,4)，(3,4)，(3,9)，共6个，
6 3
∴事件 的概率为 ( ) = = ．
16 8
(3)由题意得事件 与事件 互斥，
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∴事件 、事件 至少一个发生的概率为：
3 3 9
( ∪ ) = ( ) + ( ) = + = ．
16 8 16
20.【答案】解：(1)根据题意可得(0.005 + 0.01 + 0.015 + + 0.04) × 10 = 1，解得 = 0.03；
(2) ∵各组的频率依次为0.05，0.1，0.15，0.3，0.4，
0.7 0.05 0.1 0.15 0.3
∴估计这100名学生在测评中得分的70%分位数为90 + = 92.5；
0.04
(3) ∵ [50,60)，[60,70)两组的频率之比为0.05：0.1 = 2：4，
∴在[50,60)中抽取2人，在[60,70)中抽取4人，
∴再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，
1 1 8
则选取的2人得分分别在[50,60)和[60,70)内各1人的概率为 2 42 = ． 6 15
21.【答案】(1)证明：由正四棱锥的性质知，四边形 为正方形，
所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)解：由题意知， ， ， 两两垂直，
故以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
①若 = = 3√ 2，则 (1,0,2)， (0,3,0)，
所以 = ( 1,3, 2)，
易知平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，

设直线 与平面 所成角为 ， ∈ (0, )，
2
| | 3 3√ 14
则 = |cos < ， > | = = = ，
| | | | 1×√ 1+9+4 14
所以 3√ 14 = arcsin ，
14
故直线 与平面 所成角的大小为 3√ 14arcsin ．
14
2
②设 = ( > 0)，则 (1,0, )， (0,3,0)， ( 3,0,0)，
3
所以
2
= (1, 3, )， = ( 3, 3,0)，
3
2
= 3 + = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ 3 ，
= 3 3 = 0
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6 6
令 = 1，则 = 1， = ，所以 = (1, 1, )，

易知平面 的一个法向量为 1 = (0,0,1)，
6
| | | |
所以|cos < ， > | =
1
1 =| | | 1 | √ 6 2
，
2+( ) ×1

因为平面
√ 2 √ 6
与平面 所成锐二面角的大小为arctan ，即该锐二面角的余弦值为 ，
2 3
6
| |
√ 6
所以 = 3 ，解得 = 3(负值已舍)，
√ 6 2 2+( ) ×1

所以 = 3，
所以 = √ 2 + 2 = √ 32 + 32 = 3√ 2．
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