甘肃省武威市第八中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

甘肃省武威市第八中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 ：2 + 1 = 0的方向向量可以是( )
A. (1,2) B. (2,1) C. (2, 1) D. ( 1,2)
2.曲线 = 在点( , 1)处的切线方程为( )
1 1
A. = 2 B. = C. = 2 + 1 D. = + 1

3.已知直线 + 2 1 = 0与直线2 3 + 4 = 0垂直，则 =( )
4 4
A. B. C. 3 D. 3
3 3
4.五声音阶(汉族古代音律)是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽.若将这
五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为( )
A. 12种 B. 48种 C. 72种 D. 120种
2
5.二项式(√ )53 的展开式中常数项为( )
√
A. 80 B. 80 C. 40 D. 40
6.过点 ( 1,4)作圆( 2)2 + ( 3)2 = 4的切线，切点为 ，则切线段 长为( )
A. √ 5 B. 3 C. √ 6 D. √ 7
2 2
7.如图，已知 1， 2是双曲线 ： 2 2 = 1的左、右焦点， ， 为双曲线 上两点，
满足 1 // 2 ，且| 2 | = | 2 | = 3| 1 |，则双曲线 的离心率为( )
√ 10
A.
5
√ 5
B.
2
√ 15
C.
3
√ 10
D.
2
8.如图所示，点 是抛物线 2 = 4 的焦点，点 ， 分别在抛物线 2 = 4 及圆
( 1)2 + 2 = 16的实线部分上运动，且 总是平行于 轴，则△ 的周长
的取值范围是( )
A. (2,6)
B. (5,8)
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C. (8,12)
D. (8,10)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
1
9.在(2 2 )8的二项展开式中，下列说法正确的是( )

A. 展开式中所有项的系数和为256
B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为128
C. 展开式中含 项的系数为 448
D. 展开式中二项式系数的最大项为第四项
10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”
六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是( )
A. 从六门课程中选两门的不同选法共有20种
B. 课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种
C. 课程“礼”“书”排在相邻两天的不同排法共有240种
D. 课程“乐”“射”“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
11.已知函数 ( )( ∈ [ 3,5])的导函数为 ′( )，若 ′( )的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
1 8
A. ( )在( 2,1)上单调递增 B. ( )在( , )上单调递减
2 3
C. ( )在 = 2处取得极小值 D. ( )在 = 1处取得极大值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.直线 过点(2,1)，若 的斜率为3，则直线 的一般式方程为______．
13.已知不等式 ≥ 恒成立，则 的取值范围是______．
14.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数 ( )在闭区间[ , ]上连续，
在开区间( , )内可导，且存在点 0 ∈ ( , )，使得 ( ) ( ) = ′( 0)( )，则称 0为函数 = ( )在
闭区间[ , ]上的中值点.试求函数 ( ) = 在区间[0,1]上的“中值点”______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题13分)
(1)从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加4 × 400米接力比赛，问有多少种参赛方案？
(2)从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，问有多少种选法？
(3)4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，问有
多少种参赛方案？
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 3 + + 1在 = 1处取得极值．
(1)求实数 的值；
(2)当 ∈ [ 1,2]时，求函数 ( )的最值．
17.(本小题15分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)过点(2, √ 2)，且其一个焦点与抛物线
2 = 8 的焦点重合．

(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)设直线 与椭圆 交于 ， 两点，若点 ( 2,1)是线段 的中点，求直线 的方程．
18.(本小题17分)
已知双曲线 的两个焦点坐标分别为 1( 2,0)， 2(2,0)，双曲线 上一点 到 1， 2距离差的绝对值等于2．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)经过点 (2,1)作直线 交双曲线 的右支于 ， 两点，且 为 的中点，求直线 的方程．
(3)已知定点 (1,2)，点 是双曲线 右支上的动点，求| 1| + | |的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = 2 + 的导函数为 ′( )．
(1)若 = 1，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ′( )存在两个不同的零点 1， 2，求实数 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，证明： 1 + 2 > 1．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3 5 = 0
13.【答案】( ∞, 1]
14.【答案】ln( 1)
15.【答案】解：(1)从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加4 × 400米接力比赛，有 46 = 360种参赛
方案；
(2)从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，有 46 = 15种选法；
(3)4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，有 23 ×
(24 2) = 42种参赛方案．
16.【答案】解：(1) ( ) = 3 + + 1 ′( ) = 3 2 + ，
函数 ( ) = 3 + + 1在 = 1处取得极值，
所以有 ′( 1) = 0 3( 1)2 + = 0 = 3，经检验满足题意；
(2)由(1)可知： ( ) = 3 3 + 1 ′( ) = 3 2 3 = 3( + 1)( 1)，
当 ∈ ( 1,1)时， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
当 ∈ (1,2)时， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
故函数在 = 1处取得极小值，因此 (1) = 13 3 × 1 + 1 = 1，
( 1) = ( 1)3 3 × ( 1) + 1 = 3， (2) = 23 3 × 2 + 1 = 3，
故函数 ( )的最大值为3，最小值为 1．
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17.【答案】解：(Ⅰ)抛物线 2 = 8 的焦点为(2,0)，
4 2
+ = 1
由题意得{ 2 2 ，
2 = 2 + 22
解得 2 = 8， 2 = 4，
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1．
8 4
(Ⅱ)直线 的斜率存在，设斜率为 ，
直线 的方程为 1 = ( + 2)，即 = + 2 + 1，
= + 2 + 1
联立{ 2 2 ，
+ = 1
8 4
消去 得：(2 2 + 1) 2 + 4 (1 + 2 ) + 8 2 + 8 6 = 0，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
+
因为 1 2 = 2，即 1 + 2 = 4， 2
4 (1+2 )
所以 2 = 4，解得 = 1，
1+2
所以所求直线 的方程为 + 3 = 0．
18.【答案】(本小题满分14分)
解：(1)依题意，得双曲线 的实半轴长为 = 1，焦半距为 = 2，
∴其虚半轴长 = √ 2 2 = √ 3，
又其焦点在 轴上，
2
∴双曲线 的标准方程为 2 = 1．
3
(2)设 、 的坐标分别为( 1, 1)、( 2, 2)，
3 2 2 = 3
则{ 1 1
3 22
2
2 = 3
两式相减，得3( 1 2)( 1 + 2) ( 1 2)( 1 + 2) = 0，
∵ (2,1)为 的中点，
+ = 4
∴ { 1 2 ，
1 + 2 = 2
∴ 12( 1 2) 2( 1 2) = 0，

∴ =
1 2 = 6．
1 2
∴ 所在直线 的方程为 1 = 6( 2)，即6 11 = 0．
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(3)由已知，得| 1| | 2| = 2，即| 1| = | 2| + 2，
∴ | 1| + | | = | 2| + | | + 2 ≥ | 2| + 2，
当且仅当 ， ， 2三点共线时取等号．
∵ | 2| = √ (1 2)2 + 22 = √ 5，
∴ | 2| + | | + 2 ≥ | 2| + 2 = √ 5 + 2，
∴ | 1| + | |的最小值为√ 5 + 2．
19.【答案】解：(1)若 = 1， ( ) = 2 ， ′( ) = 2 2，∴ ′(1) = 0，且 (1) = 0，
∴曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = 0．
1
(2) ′( ) = 2 + 1，设 ( ) = 2 + 1, ′( ) = 2 , > 0．

1 1 1
令 ′( ) = 0，得 = ，在(0, )上， ′( ) < 0，在( , +∞)上， ′( ) > 0，
2 2 2
1 1
∴ ( )在(0, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增，
2 2
1 1 1
∴ ( ) = ( ) = 2 × ln + 1 = + 2.又当 → 0或 → +∞时， ( ) → +∞， 2 2 2
∴要使 ( )有两个零点，只需 + 2 < 0，解得 < 2，∴ 的取值范围为( ∞, 2)．
(3)证明：由题意及(2)知，存在不同的 1， 2 ∈ (0, +∞)，使得 ( 1) = ( 2)，
1 1 1
不妨设 1 < 2，则 1 ∈ (0, ), 2 ∈ ( , +∞)，∴ 1 2 2 1 ∈ ( , 1)． 2
1 1 1
设 ( ) = ( ) (1 )，则 ′( ) = ′( ) + ′(1 ) = 4 = 4 ，
1 (1 )
1 1 1
∵当 ∈ (0, )时， ∈ (4, +∞)，∴ ′( ) < 0在(0, )上恒成立，
2 (1 ) 2
1 1
∴当 ∈ (0, )时， ( )单调递减，∴ ( ) > ( ) = 0，即 ( ) > (1 )．
2 2
1
∴ ( 1) = ( 2) > (1 1)，∵ ( )在( , +∞)上单调递增，∴ 2 > 1 2 1，即 1 + 2 > 1．
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