广东省大湾区2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

广东省大湾区 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，已知向量 = ( 3,2,2 ), = ( , 9,3)，若 ⊥ ，则 =( )
A. 4 B. 2 C. 2 D. 4
2.过点 ( √ 3, 1)，倾斜角为60°的直线方程是( )
A. √ 3 + + 4 = 0 B. √ 3 + 2√ 3 = 0
C. √ 3 + 4 = 0 D. + √ 3 + 2√ 3 = 0
3.圆 ：( 1)2 + 2 = 4与圆 ： 2 + 2 + 4 + 2 = 0的位置关系为( )
A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 相离
1 1
4.已知数列{ }的各项均不为0， 1 = 1， = 3，则 8 =( ) +1
1 1 1 1
A. B. C. D.
20 21 22 23
2 2
5.方程 + = 1表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为( )
2+ 8
A. > 2 B. < 8 C. 2 < < 8 D. 2 < < 3
6.关于方程 2 + + 2 2 = 4所表示的曲线，下列说法正确的是( )
A. 关于 轴对称 B. 关于 轴对称 C. 关于 = 对称 D. 关于原点中心对称
2 2
7.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的两个焦点为 1， 2，过 2的直线与 交于 ， 两点.若| 2| = 3| 2 |，
| | = 2| 1|，且△ 1的面积为4√ 15，则椭圆 的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
25 15 25 10 10 6 10 4
8.古典吉他的示意图如图所示. 0， 分别是上弦枕、下弦枕， ( = 1,2,… ,19)是第 品丝.记 为 与 1的

距离， 为 1 与 0的距离，且满足 = ， = 1，2，…，19，其中 为弦长( 0与 的距离)， 为大
于1的常数，并规定 0 = 0.则( )
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A. 数列 1， 2，…， 19是等差数列，且公差为

2
1
B. 数列 1， 2，…， 19是等比数列，且公比为
2 1
C. 数列 1， 2，…， 19是等比数列，且公比为
( 1)
D. 数列 1， 2，…， 19是等差数列，且公差为

2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线 过抛物线 ： 2 = 4 的焦点 ，且与 交于 ( 1, 1)， ( 2, 2)两点，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线 的焦点坐标为(1,0) B. | |的最小值为4
C. 对任意的直线 ， 1 2 = 1 D. 以 为直径的圆与抛物线 的准线相切
10.如图，在平行六面体 1 1 1 1中， = = 1， 1 = √ 3，底
面 为菱形，∠ = 60°， 1与 ， 所成的角均为60°( )
A. = 1 + 1
B. 四边形 1 1为矩形
C. ∠ 1 = 30°
D. 如果
1 2 4
= + ，那么点 在平面 内
3 3 3 1 1
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11.已知数列 1：0，2，0，2，0，现在对该数列进行一种变换，规则 ：每个0都变为“2，0，2”，每个2都变
为“0，2，0”，得到一个新数列，记数列 +1 = ( )， = 1，2，3，…且 的所有项的和为 ，则以下
判断正确的是( )
A. 1 的项数为5 3 B. 4 = 136
C. 5中0的个数为203 D.
1
= 5 3 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.点 ( , )为圆 2 + 2 4 + 3 = 0上的动点，则 的取值范围为______．

2 2
13.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线方程为 + 2 = 0，则双曲线的离心率 的值为______．
14.正方形 1 1的边长为12，其内有两点 ， ，点 到边 1， 1 1的距离分别为3和1，点 到边 1，
的距离也分别为3和1.现将正方形卷成一个圆柱，使得 和 1 1重合(如图)，则此时 ， 两点间的距离
为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 ： 2 + 2 2 4 1 = 0，直线 ：(2 + 1) + ( + 2) 3 6 = 0．
(1)求直线 恒过定点的坐标；
(2)求直线 被圆 截得的弦长最短时 的值以及最短弦长．
16.(本小题15分)
已知等比数列{ }的各项均为正数，前 项和为 ，且满足 1 + 2 = 3， 4 = 15．
(Ⅰ)求数列{ }的通项公式；
(Ⅱ)若数列{ }满足 = + ( 1)
(3 1)，求数列{ }的前2 项和 2 ．
17.(本小题15分)
如图所示，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， // ，∠ = 90°，侧面 ⊥底面 且
= = = = 2 = 2， 为 中点．
(1)求证： ⊥ ；
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(2)求二面角 的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
18.(本小题17分)
在空间直角坐标系 中，已知向量 = ( , , )，点 0( 0, 0, 0).若直线 以 为方向向量且经过点 0，则

直线 的标准式方程可表示为 0 = 0 = 0 ( ≠ 0)；若平面 以 为法向量且经过点 0，则平面 的点
法式方程可表示为 ( 0) + ( 0) + ( 0) = 0，一般式方程可表示为 + + + = 0．
(1)证明：向量 = ( , , )是平面 ： + + + = 0的法向量；
(2)若平面 1： + 2 1 = 0，平面 1：2 + 1 = 0，直线 为平面 1和平面 1的交线，求直线 的单位
方向向量(写出一个即可)；
(3)若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为 2、 2、 ，其中平面 2经过点(4,0,0)，(3,1, 1)，( 1,5,2)，平
面 2： + = 4，平面 ： + ( + 1) + ( + 2) + 3 = 0，求实数 的值．
19.(本小题17分)
已知双曲线 ： 2 2 = 1，上顶点为 .直线 与双曲线 的两支分别交于 ， 两点( 在第一象限)，与 轴
交于点 .设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ．
√ 3
(1)若 ( , 0)，
3
( )若 (0, 1)，求 ；
( )求证： + 为定值；

(2)若 = ，直线 与 轴交于点 ，求△ 与△ 的外接圆半径之比的最大值．
6
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 3 √ 3
12.【答案】[ , ]
3 3
√ 5
13.【答案】
2
6√ 1+ 2
14.【答案】

15.【答案】解：(1)直线 ：(2 + 1) + ( + 2) 3 6 = 0，
可化为(2 + 3) + ( + 2 6) = 0，
2 + 3 = 0, = 0,
联立{ 解得{ 故直线 恒过定点(0,3)．
+ 2 6 = 0, = 3,
(2)由 2 + 2 2 4 1 = 0，配方得( 1)2 + ( 2)2 = 6，
所以圆心 (1,2)，半径为√ 6，直线 恒过定点 (0,3)，
当直线 ⊥ 时，直线 被圆截得的弦长最短．
3 2
因为直线 的斜率为 = = 1， 0 1
2 +1
故直线 的斜率为 = = 1，解得 = 1．
+2
此时圆心 到直线 的距离为 = | | = √ (0 1)2 + (3 2)2 = √ 2，
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所以最短弦长为2√ 2 2 = 2√ 6 2 = 4．
16.【答案】解：(Ⅰ)设数列{ }的公比为 ， > 0，
∵ 1 + 2 = 3， 4 = 15，
∴ + = 2 + 2 = 23 4 1 2 ( 1 + 2) = 12，
即3 2 = 12， = 2( = 2舍去)，
∴ 1 + 2 = 1 + 2 1 = 3，即 1 = 1，
∴ = 2 1 ；
(Ⅱ) ∵ = 2 1 1 ， = 2 + ( 1)
(3 1)，
∴ = (1 + 2 + 22 + 23 + + 22 12 ) + [ 2 + 5 8 + 11 (6 4) + (6 1)]
1 22
= + 3 = 22 + 3 1，
1 2
∴ 2 = 2
2 + 3 1．
17.【答案】(1)证明：取 中点 ，连接 ，由 = = = 2，得 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
则 ⊥平面 ，过 作 // ，由∠ = 90°，得 ⊥ ， ⊥ ，
而 ， 平面 ，则 ⊥ ， ⊥ ，
以 为原点，直线 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系，如图：
由 // ， = 2 = 2，
得 (2,1,0), (0,1,0), (0, 1,0), (1, 1,0), (0,0,√ 3)，
中点 1 √ 3 1 √ 3 (1, , )，则 = (1, , ), = ( 1, 2,0)，
2 2 2 2
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因此
1 √ 3
= 1 × ( 1) + ( ) × ( 2) + × 0 = 0，即 ⊥ ，
2 2
所以 ⊥ ；
(2)解：由(1)知， = ( 1,2,0), = ( 1,1, √ 3), = (1,2,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
则由 ⊥ ， ⊥ ，可得{ ，
= + + √ 3 = 0
令 = 1，得 = (2√ 3, √ 3, 1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
则由 ， ，可得{
= + 2 = 0
⊥ ⊥ ，
= + + √ 3 = 0
令 = 1，得 = (2, 1, √ 3)，
设二面角 的大小为 ，
| | 4√ 3 √ 6
则| | = |cos , | = = = ，
| || | 4×2√ 2 4
所以二面角 的正弦值为 = √ 1 cos2
√ 10
= ．
4
(3)解：由(1)(2)知， = (1,0,0)，
平面 的一个法向量为 = (2, 1,√ 3)，
| | 2 √ 2
所以点 到平面 的距离为 = = = ．
| | 2√ 2 2
18.【答案】解：(1)证明：取平面 + + + = 0内的任意两点 ( 1, 1, 1)， ( 2, 2, 2)，
1 + 1 + 1 + = 0,则{ 两式相减得， (
+ + + = 0, 2 1
) + ( 2 1) + ( 2 1) = 0，
2 2 2
即 = 0，所以 ⊥ ，从而 ⊥ ，
故 = ( , , )是平面 的法向量．
(2)记平面 1， 1的法向量为 1 = (1,2,0)， 1 = (0,2, 1)，
设直线 的方向向量 = ( , , )，
因为直线 为平面 1和平面 1的交线，所以 1 ⊥ , 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，
1 = + 2 = 0即{ ，取 = 2，则 = (2, 1, 2)，
1 = 2 = 0
2 1 2
所以直线 的单位方向向量为( , , )．
3 3 3
(3)设 2： + + + 1 = 0，
由平面 2经过点(3,1, 1)，( 1,5,2)，(4,0,0)，
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1
4 + 1 = 0 = 4
所以{3 + + 1 = 0 ，得{ 1 = ，即 2： + = 4，
+ 5 + 2 + 1 = 0 4
= 0
所以记平面 2、 2、 的法向量为 2 = (1,1,0)， 2 = (0,1,1)， = ( , + 1, + 2)，
与(2)同理， 2与 2确定的交线方向向量为 = (1, 1,1)，
所以 = ( + 1) + + 2 = + 1 = 0，
得 = 1．
19.【答案】解：(1)( ) = √ 3，所以 ： = √ 3 1，
与 联立可得 2 √ 3 = 0，解得 = 0或 = √ 3，所以 (√ 3, 2)．
所以 √ 3

= ，所以 = ； 3 6
( )证明：(1)
√ 3
直线 斜率存在时，可设直线 的方程为 = ( )，
3
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)
√ 3
= ( )
由{ 3 ，得3( 2 1) 2 2√ 3 2 + 2 3 = 0，
2 2 = 1
2 2
2√ 3 3
所以 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ．
3( 1) 3( 1)
2
当 1 = 0时，由( )可得 + = ； 3
当 1 ≠ 0时，设 ， 的斜率分别为 1， 2．
√ 3 √ 3
1 +1 +1
= 1 = 3 , = 3 ． 1 1 21 2
√ 3 √ 3 √ 3 √ 3
+1 +1
所以 3 3 √ 3 1+
+1 +1
+ = 2 = 2 ( + 1) 2
2√ 3
= ， = ( 3 )( 31 2 ) = 1 2 3 1 2 √ 3 1 2 1 2
√ 3+
．
√ 3
+
所以tan( + ) = 1 2 = √ 3．
1 1 2

因为 在第一象限，所以0 < < ，
2
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3
所以0 < + < ，
2
2
所以 + = ．
3
√ 3 2√ 3 √ 3 2√ 3②直线 斜率不存在时，可得 ( , ), ( , )，
3 3 3 3
可得 1 = 2 √ 3, 2 = 2 √ 3，
+ 2
所以tan( + ) = 1 2 = √ 3，同理可得 + = ．
1 1 2 3
2
综上可得， + 为定值 ，得证．
3

(2)由(1)可得 = 时，
6 (√ 3, 2)．
不存在，则 (0, 1)，由 可得 √ 3

① 1 ①( ) ( , 0)，所以 = √ 3，所以∠ = ． 3 6

② 不存在，则 (0,0)，则 ( √ 3, 2)，此时 1 = √ 3，由图可得∠ = ． 6
2
③若 1和 均存在，设 ： = ( √ 3) + 2, ( , 0)，则 = √ 3
2 2
与双曲线联立可得 √ 3 4 +√ 3 2 +2√ 3 2 = 2 , = ． 2
1 1
1 √ 3
所以 1 = , = ． √ 3 2 √ 3
√ 3
所以tan∠ = 1 = ，
1+ 1 3
1
所以sin∠ = sin∠ = ．
2
设△ 与△ 的外接圆半径分别为 1， 2，


从而 1 = sin∠
2
= = |
| = ≤ 2.等号当且仅当 = 1时取到． 2 | |
sin∠
所以△ 与△ 的外接圆半径之比的最大值为2．
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