新课标高一幂函数、指数函数、对数函数练习题

第二章基本初等函数
第一节 指数函数
一、指数与指数幂的运算
1．整数指数幂的运算性质：
2．根式的运算性质：
① 当为任意正整数时，()=a.
② 当为奇数时，=a；当为偶数时，=|a|=.
⑶ 根式的基本性质：，（a0）
用语言叙述上面三个公式：
非负实数的次方根的n次幂是它本身.
为奇数时，实数的次幂的次方根是本身；为偶数时，实数的次幂的次方根是的绝
对值.
⑶ 若一个根式(算术根)的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变.
3．引例：当时
①
②
③
④
上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质(2).因此，我们可以得出正分数指数幂的意义.
二、分数指数幂
1正数的正分数指数幂的意义
(a＞0,m,n∈N*,且n＞1)
要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.
2.规定：
(1) (a＞0，m,n∈N*,且n＞1)
(2) 0的正分数指数幂等于0.
(3) 0的负分数指数幂无意义.
规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数.当a＞0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用.即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质.
3.有理指数幂的运算性质:
说明：若a＞0，P是一个无理数，则表示一个确定的实数，上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关概念和证明在本书从略.?
题型一 根式的求值、化简、比较大小
例1 求下列各式的值
（1）； （2） （3） （4）
（5）
分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号
（2）题按积的乘方计算，而按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤
解
例4计算下列各式：
分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算
（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算
解：
四、练习：课本P14练习
1.用根式的形式表示下列各式(ａ＞０)
解：
2.用分数指数幂表示下列各式：
(1) （２）（ａ＋ｂ＞０）
（３） （４）（ｍ＞ｎ）
(5)（ｐ＞０） (6)
解：(1)
(2)
(3)
(4) ＝（ｍ－ｎ）２
(5)
(6)
指数函数
（一）指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意： 指数函数的定义是一个形式定义，
注意指数函数的底数的取值范围，分析底数为什么不能是负数、零和1．
（二）指数函数的图象和性质
问题：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？
研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质．
研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．
探索研究：
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2．从画出的图象中你能发现函数的图象和函数的图象有什么关系？可否利用的图象画出的图象？
3．从画出的图象（、和）中，你能发现函数的图象与其底数之间有什么样的规律？
4．你能根据指数函数的图象的特征归纳出指数函数的性质吗？
图象特征 函数性质
向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；
5.利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，值域是或；
（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；
（3）对于指数函数，总有；
（4）当时，若，则；
第二节 对数和对数函数
一、复习引入：
1庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？
（2）取多少次，还有0.125尺？
2假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
抽象出：1. ＝？，＝0.125x= 2. =2x=
也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？
二、新授内容：
定义：一般地，如果 的b次幂等于N, 就是 ，那么数 b叫做 以a为底 N的对数，记作 ，a叫做对数的底数，N叫做真数
例如： ;
;
探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵，
∵对任意 且 , 都有 ∴
同样易知：
⑶对数恒等式
如果把 中的 b写成 , 则有
⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N的常用对数简记作lgN
例如：简记作lg5 ; 简记作lg3.5.
⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数简记作lnN
例如：简记作ln3 ; 简记作ln10
（6）底数的取值范围；真数的取值范围
三、讲解范例：
例1将下列指数式写成对数式：
（1）=625 （2）= （3）=27 (4) =5.73
解：（1）625=4； （2）=-6；
（3）27=a； （4）
例2 将下列对数式写成指数式：
（1）； （2）128=7；
（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303
解：（1） （2）=128；
（3）=0.01； （4）=10
例3计算： ⑴，⑵，⑶，⑷
解法一：⑴设 则 , ∴
⑵设 则, , ∴
⑶令 =,
∴, ∴
⑷令 , ∴, , ∴
解法二：
⑴；
⑵
⑶=
⑷
四、练习：
1.把下列指数式写成对数式
＝８ （２）＝32 （３）＝（４）
解：(1)８＝３ (2) 32＝５
(3) ＝－１ (4) ＝－
2.把下列对数式写成指数式
９＝２ （２）１２５＝３
（３）＝－２ （４）＝－４
解：(1)＝９ (2)＝１２５
(3)＝ (4) ＝
3.求下列各式的值
25 （２）
（３）100 （４）0.01
（５）10000 （６）0.0001
解：(1) 25＝＝２ (2) ＝－４
(3) 100＝２ (4) 0.01＝－２
(5) 10000＝４ (6) 0.0001＝－４
4.求下列各式的值
(1) 15 （２）1 （３）81
（４）625 （５）343 （６）243
解：(1) 15＝１ (2) 1＝０ (3) 81＝２
(4) 625＝２ (5) 343＝３ (6) 243＝５
第二小节
一、复习引入：
1．对数的定义 其中 a 与 N
2．指数式与对数式的互化
3.重要公式：
⑴负数与零没有对数；
⑵，
⑶对数恒等式
3．指数运算法则
二、新授内容：
积、商、幂的对数运算法则：
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
证明：①设M=p, N=q
由对数的定义可以得：M=，N=
∴MN= = ∴MN=p+q，
即证得MN=M + N
②设M=p，N=q
由对数的定义可以得M=，N=
∴ ∴
即证得
③设M=P 由对数定义可以得M=,
∴＝ ∴=np， 即证得=nM
说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式
①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式：如
③真数的取值范围必须是：
是不成立的
是不成立的
④对公式容易错误记忆，要特别注意：
，
三、讲授范例：
例1 计算
（1）25， （2）1， （3）（×）， （4）lg
解：（1）25= =2
（2）1=0
（3）（×25）= +
= + = 2×7+5=19
（4）lg=
例2 用，，表示下列各式：
解：（1）=（xy）-z=x+y- z
（2）=（
= +=2x+
例3计算：
(1)lg14-2lg+lg7-lg18 (2) (3)
说明：此例题可讲练结合.
(1)解法一：lg14-2lg+lg7-lg18
=lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2)
=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0?
解法二：
lg14-2lg+lg7-lg18=lg14-lg+lg7-lg18?
=lg
评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.
评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质.
四、课堂练习：
1.求下列各式的值：
（１）６－３ （２）lg５＋lg２
（３）３＋ （４）５－１５
解：（１）６－３＝２＝１
（２）lg５＋lg２＝lg（５×２）＝lg１０＝１
(3) ３＋＝(３×)＝１＝０
(4) ５－15＝＝＝－３＝－１.
2. 用lgｘ，lgｙ，lgｚ表示下列各式：
(1) lg（xyz）； （２）lg； （３）； （４）
解：(1) lg（xyz）＝lgｘ＋lgｙ＋lgｚ；
(2) lg ＝lgｘ－lgｚ＝lgｘ＋lg－lgｚ
＝lgｘ＋２lgｙ－lgｚ；
(3) ＝lgｘ－lg ＝lgｘ＋lg－ lgｚ
＝lgｘ＋３lgｙ－ lgｚ；
(4)
第三小节：
一、复习引入：对数的运算法则
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
二、新授内容：
1.对数换底公式：
( a > 0 ,a 1 ，m > 0 ,m 1,N>0)
证明：设 N = x , 则 = N
两边取以m 为底的对数：
从而得： ∴
2.两个常用的推论:
①，
② （ a, b > 0且均不为1）
证：①
②
三、讲解范例：
例1 已知 3 = a， 7 = b, 用 a, b 表示 56
解：因为3 = a，则 , 又∵7 = b,
∴
例2计算：① ②
解：①原式 =
②原式 =
例3设 且
1 求证 ； 2 比较的大小
证明1：设 ∵ ∴
取对数得： ， ，
∴
2
∴
又：
∴
∴
例4已知x=c+b，求x
分析：由于x作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b的存在使变形产生困难，故可考虑将c移到等式左端，或者将b变为对数形式
解法一：
由对数定义可知：
解法二：
由已知移项可得 ，即
由对数定义知：
解法三：
第四小节：对数函数
1．对数函数的定义：
函数叫做对数函数；它是指数函数 的反函数
对数函数 的定义域为，值域为
2．对数函数的图象
由于对数函数与指数函数互为反函数，所以的图象与的图象关于直线对称因此，我们只要画出和的图象关于对称的曲线，就可以得到的图象，然后根据图象特征得出对数函数的性质
3．对数函数的性质
由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质见P87 表
a>1 0图 象
性 质 定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当x=1时，y=0
时 时 时 时
在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
例1比较下列各组数中两个值的大小：
⑴； ⑵；
⑶
解：⑴考查对数函数，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是
⑵考查对数函数，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是
小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
①确定所要考查的对数函数；
②根据对数底数判断对数函数增减性；
③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小
⑶当时，在（0，+∞）上是增函数，于是
当时，在（0，+∞）上是减函数，于是
小结2：分类讨论的思想
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1而已知条件并未指明，因此需要对底数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握
例3比较下列各组中两个值的大小：
⑴； ⑵
分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数的大小
解：⑴，，
⑵，，；
小结3：引入中间变量比较大小
例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小
例4 求下列函数的定义域、值域：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
解：⑴要使函数有意义，则须：
即：
∵ ∴ 从而
∴ ∴ ∴
∴定义域为[-1,1]，值域为
⑵∵对一切实数都恒成立
∴函数定义域为R
从而 即函数值域为
⑶要使函数有意义，则须：
由 ∴在此区间内
∴
从而 即：值域为
∴定义域为[-1,5]，值域为
⑷要使函数有意义，则须：
由①：
由②：∵时 则须 ，
综合①②得
当时 ∴
∴ ∴
∴定义域为(-1,0)，值域为
指数函数
对数函数
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