选择必修第二册 第五章 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 3.导数在函数的综合应用 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
选择必修
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数的在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
3.导数在函数的综合应用
教学目标
学习目标 数学素养
1.会用导数求解含参函数的最值． 1.逻辑思维素养和数学运算素养.
2.会用导数讨论函数的有关性质． 2.逻辑思维素养和数学运算素养.
3.会用导数解决函数的实际应用问题． 3.数学运算素养和逻辑思维素养.
温故知新
1.求函数y=f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
2.几个重要不等式
⑴当x>0时，.
⑵当x>0时，.
⑵将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
⑴求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值；
⑶对x∈R,都有.
知新探究
【例1】已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
解：
∴f(x)min＝f(a)＝-a3.
∵f′(x)＝3x2-2ax-a2＝(3x＋a)(x-a)，
令f′(x)＝0，解得x1＝-，x2＝a.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(0)＝0.
③当a<0时，f(x)在[0,)上单调递减，在[,＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f＝a3.
初试身手
1.若函数f(x)＝3x-x3在区间(a2-12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A.(-1，+∞ ) B.(-1,4) C.(-1,2] D.(-1,2)
∵f′(x)=3-3x2.
令f′(x)=0，解得x=±1，
当x变化时，f′(x)，f(x)令的变化情况如下表所示.
x (-∞,-1) -1 (0,1) 1 (1,+∞)
f′(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ -2 ↗ 2 ↘
由此得-1∈(a2-12，a)，即a2-12<-1又当x∈(1,+∞)时,单调递减f(x)，且当x＝2时，f(x)＝-2.
∴a≤2.
解：
综上，实数a的取值范围为-1知新探究
【例2】 ⑴已知f(x)=,x∈R,设a=f(0.3-1),b=f(0.3-1),c=f(),则（ ）
A. b⑵函数y=f(x)，x∈R,f(1)＝2 0215，对任意的x∈R，都有f′(x)－3x2>0成立，则不等式f(x)A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
解：
⑴∵f′(x)=1-,
∴y＝f(x)在x∈R上单调递增，
又∵0.3-1>1>0.3-1>0>，
∴f(0.3-1)>f(0.3-1)>f(),
即a>b>c,故选D.
D
知新探究
【例2】 ⑴已知f(x)=,x∈R,设a=f(0.3-1),b=f(0.3-1),c=f(),则（ ）
A. b⑵函数y=f(x)，x∈R,f(1)＝2025，对任意的x∈R，都有f′(x)－3x2>0成立，则不等式f(x)A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(－∞，1) D．(1，＋∞)
解：
⑵设h(x)＝f(x)－x3，则h′(x)＝f′(x)－3x2>0，
∴h(x)在x∈R上单调递增，
又h(1)＝f(1)－13＝2 024，
由于f(x)即h(x)C
∴x<1，故选C.
初试身手
设h(x)=f(x)+x,依题意可知
2.已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=0,且f(x)的导函数f'(x)满足f'(x)+1<0,则不等式f(ln x)+ln x>1的解集为　　　　　.
解：
h'(x)=f'(x)+1<0,
∴不等式f(ln x)+ln x>1可转化为h(ln x)>h(1),
∴ln x<1,解得0即不等式f(ln x)+ln x>1的解集为(0,e).
∴函数h(x)在R上是单调递减,且h(1)=f(1)+1=1,
(0,e)
知新探究
【例3】 给定函数f(x)=(x+1)ex.
⑴判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
解：
⑴∵函数f(x)的定义域为R，
∴f'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'=ex+(x+1)ex=(x+2)ex，
令f'(x)=0，解得x=-2,
f'(x)，f(x)的变化情况如下表所示，
∴f(x)在区间(-∞,-2)上单调递减，在区间(-2,+∞)上单调递增.
x (-∞,-2) -2 (-2,+∞)
f'(x) - 0 +
f(x) 单调递减 单调递增
当x=-2时，f(x)有极小值f(-2)=.
知新探究
【例3】 给定函数f(x)=(x+1)ex.
⑵画出函数f(x)的大致图象；
解：
⑵令f(x)=0，解得x=-1，
当x<-2时，f(x)<0；当x>-2时，f(x)>0.
∴f(x)的图象经过特殊点A(-2,),B(-1,0),C(0,e).
当x→-∞时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性
增长，从而f(x)→0；
当x→+∞时，f(x)→+∞，f'(x)→+∞.
根据以上信息，我们画出f(x)的大致图象如图所示.
知新探究
【例3】 给定函数f(x)=(x+1)ex.
⑶求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数.
解：
⑶方程f(x)=a(a∈R)的解的个数为函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点的个数，
∴关于方程f(x)=a(a∈R)的解的个数有如下结论：
①当时，解为0个；
②当时，解为1个；
③当时，解为2个.
知新探究
由上例可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质.通常，可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象：
⑴求出函数f(x)的定义域；
⑵求导数f'(x)及函数f'(x)的零点；
⑶用f'(x)的零点将的f(x)域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；
⑷确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
⑸画出f(x)的大致图象.
初试身手
⑴∵f′(x)=3x2-6=3(x2-2),
3.设函数f(x)＝x3-6x＋5，x∈R.
⑴求f(x)的极值点；
⑵若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
⑶已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x-1)恒成立，求实数k的取值范围.
解：
令f′(x)=0，解得.
∴当x∈(-∞,-)∪(,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(-,)时，f′(x)<0.
⑵由⑴的分析可知y＝f(x)图象的大致形状及走向如图所示．
∴分别为f(x)的极大值点、极小值点.
要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同交点，需5－4＝f()∴方程f(x)＝a有3个不同实根时，所求实数a的取值范围
为(5－4，5＋4).
初试身手
⑶方法1：f(x)≥k(x-1)恒成立，即(x-1)(x2＋x-5)≥k(x-1),
3.设函数f(x)＝x3-6x＋5，x∈R.
⑴求f(x)的极值点；
⑵若关于x的方程f(x)＝a有3个不同实根，求实数a的取值范围；
⑶已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x-1)恒成立，求实数k的取值范围.
解：
因为x>1，所以k≤x2＋x-5在(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝x2＋x-5，由二次函数的性质得g(x)在(1，＋∞)上是增函数，
故所求k的取值范围是为(－∞，－3]．
∴g(x)>g(1)＝-3，所求k的取值范围是为(－∞，－3]．
方法2：直线y＝k(x-1)过定点(1,0)且f(1)＝0，
曲线f(x)在点(1,0)处切线斜率f′(1)＝－3，
由⑵中草图知要使x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立需k≤－3.
知新探究
问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
⑴你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 你想从数学上知道它的道理吗？
⑵是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【例3】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
⑴瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
⑵瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
知新探究
【例4】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
⑴瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
⑵瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：
由题意可知，每瓶饮料的利润是
.
∴f′(r)=.
令f′(r)=0，解得r=2.
当r∈(0,2)时，f′(r)<0；当r∈(2,+∞)时，f′(r)>0.
知新探究
【例4】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.
⑴瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
⑵瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
解：
因此，当半径r>2时，f′(r)>0,f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；
当半径r<2时，f′(r)<0,f(r)单调递减，即半径越大，利润越低.
⑴半径为6cm时，利润最大.
⑵半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.
知新探究
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象(如下图所示)上观察，你有什么发现？
从图象上容易看出，当r=3时，f(3)=0，即瓶子的半径是3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r>0时，利润才为正值.
当r∈(0,2)时，f(r)单调递减，你能解释它的实际意义吗？
通过此问题的解决，我们很容易回答开始时的问题.请同学们自己作出回答.
初试身手
4.某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．
⑴若年销售量增加的比例为0.4x，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式;
⑵若年销售量关于x的函数为y＝3240×(-x2+2x+)，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
初试身手
⑴由题意得,本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)；出厂价为13×(1＋0.7x)，年销售量为5000×(1＋0.4x)．
解：
∴本年度的年利润p＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)
＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)
⑵本年度的年利润为
＝－1800x2＋1500x＋15000(0＜x＜1).
f(x)=(3－0.9x)×3240×(-x2+2x+)
=3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，
∴f′(x)=3240×(2.7x2－9.6x＋4.5)
=972(9x－5)(x－3)
初试身手
解：
令f′(x)＝0，解得x＝或x＝3(舍去)．
当0＜x＜时，f′(x)＞0;当＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴当x＝时，f(x)有最大值f()＝20000.
∴当x＝时，本年度的年利润最大，最大年利润为20000万元．
作业布置
作业：
P98-99 习题5.3 第7,8,12,11题
补充：
1.已知函数
⑴若f(0)=2，求实数a的值，并求此时f(x)在[-2,1]上的最小值；
⑵若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围.
2.给定函数f(x)＝ex－x.
⑴判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；
⑵画出函数f(x)的大致图象；
⑶求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1，2]的解的个数．
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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初试身手
⑵∵f′(x)=,
1.求下列各函数的最值.
⑴f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2，3]； ⑵f(x)＝,x∈[0，a]，a为正实数
⑶f(x)＝.
解：
当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数.
∴当x＝a时，f(x)min＝；当x＝0时，f(x)max＝0.
⑶∵f′(x)=,x∈(0,+∞),
即f(x)在[0，a]上的最小值为，最大值为0.
令f′(x)=0，解得x=,
当x∈(0,)时，f′(x)<0,f(x)在(0,)上单调递减；当x∈(,+∞)时，f′(x)<0,f(x)在(0,)上单调递增.
∴当x＝时，f(x)min＝-，而f(x)在(0,+∞)上无最大值.