2024-2025学年上海虹口区高一上学期数学期末区统考试卷（2025.01）（含答案）

虹口区2024学年第一学期高一年级数学期末统考
2025.1
一、填空题（本大题满分30分）本大题共10题，每题3分．
1．已知集合，则 .
2．不等式的解集为 .
3．已知是方程的两个实根，则 .
4．计算： .
5．已知，则 .
6．函数的零点为 .
7．已知关于的方程的一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为 .
8．已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 .
9．（组题）设，若函数的反函数为，
且函数的图像经过点，则关于的不等式的解集为 .
（组题）设，若，则实数 .
10．（组题）设，若非空集合满足，则实数的取值范围是 .
（组题）设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共5题，每题4分．
11．设为实数，则＂＂是＂＂的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
12．设正实数满足，则下列结论不正确的是（ ）.
A．的最小值为4 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最小值为
13．函数图像的大致形状为（ ）.
14．定义运算：．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
15．（组题）设奇函数的定义域为，且，若对任意
，都有，则不等式的解集为（ ）.
A． B． C． D．
（组题）设，则（ ）.
A．函数的最大值为3，最小值为1
B．函数的最大值为，无最小值
C．函数的最大值为，无最小值
D．函数的最大值为3，最小值为-1
三、解答题（本大题满分50分）本大题共5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
16．（本题满分8分，第1小题4分，第2小题4）
已知函数的定义域为集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．
17．（本题满分10分，第1小题6分，第2小题4分）
（A组题）设．（组题）设．
（1）作出函数的大致图像，并指出它的单调区间；
（2）当实数变化时，讨论关于的方程的解的个数．
18．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
如图所示，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为．为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为．
（1）试将表示为的函数；
（2）为节约成本，海报纸的长和宽分别为多少时，才能使其面积最小？
19．（本题满分10分，第1小题4分，第2小题6分）
（组题）设．
（1）若，不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
（2）若，函数在上的最小值为-2，求的值．
（组题）设，已知是上的奇函数．
（1）求的值，并判断函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
20．（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）
（组题）对于函数，若存在区间，同时满足：
①函数在上是单调函数；
②函数的定义域为时，其值域也为．则称为函数的＂优美区间＂．
（1）判断是否为函数的＂优美区间＂？并说明理由；
（2）若函数存在＂优美区间＂，求的最小值；
（3）若函数存在＂优美区间＂，当变化时，试求的最大值．
（组题）对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在＂漂移点＂.
（1）判断函数是否存在＂漂移点＂？并说明理由；
（2）求证：函数在上存在＂漂移点＂；
（3）若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围.
参考答案
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9．（A组题） （组题）
10．（A组题） （B组题）
10．（组题）设，若非空集合满足，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由，可得
即由，可得在上恒成立，
即，解得①
又集合是非空集合，所以在上有解，
则有，解得或，②
综合①②可得：．故选：．
（组题）设，若函数是偶函数，则此函数的最小值为 .
【答案】
【解析】由题意得，即
整理得
所以，令，则，
当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为1．
二、选择题
11．A 12．C 13．B 14．D 15．（A组题）D （B组题）C
15.（组题）设，则（ ）.
A．函数的最大值为3，最小值为1
B．函数的最大值为，无最小值
C．函数的最大值为，无最小值
D．函数的最大值为3，最小值为-1
【答案】C
【解析】当时，，
令，解得；
当时，，
令，解得，
作出的图象，如图所示：
由此可知：无最小值，故选：．
三、解答题
16.（1） （2）．
17.（A组题）（1）如图，函数在区间上是严格减函数；在区间及上是严格增函数．（正确画出函数图像得4分，正确指出函数的单调区间的2分）
（2）当时，关于的方程的解的个数为0；
当，或时，关于的方程的解的个数为2；
当时，关于的方程的解的个数为3．（分类正确得2分，解的个数正确得2分）
（B组题）（1）如图，函数在区间上严格减；在区间上严格增．
（正确画出函数图像得4分，正确指出函数的单调区间得2分）
（2）当时，关于的方程的解的个数为1；
当时，关于的方程的解的个数为2.（正确答对一类得2分，共4分）
18.（1）
（2）当长为，宽为时，海报纸面积最小；最小面积．
19.（组题）（1） （2）
（组题）（1），函数在R上是严格增函数．
（2）实数的取值范围为．
20．（本题满分12分，第1小题3分，第2小题4分，第3小题5分）
（组题）对于函数，若存在区间，同时满足：
①函数在上是单调函数；
②函数的定义域为时，其值域也为．则称为函数的＂优美区间＂．
（1）判断是否为函数的＂优美区间＂？并说明理由；
（2）若函数存在＂优美区间＂，求的最小值；
（3）若函数存在＂优美区间＂，当变化时，试求的最大值．
【答案】（1）是 （2）4 （3）当时，取最大值．
【解析】（1）由于是上的严格增函数，所以，；即函数在上的值域也为．
由＂优美区间＂的定义可知，是函数的一个＂优美区间＂．
（2）易知函数是上的严格增函数，
由是函数的＂优美区间＂，得
即是方程的两个不同正整数根.（5分）
所以是方程的两个不同正整数根，
于是解得因此，的最小值为4．
（3）设是已知函数定义域的子集．
∵或，
∴函数在上单调递增．
若是已知函数的＂优美区间＂，机，
∴是方程，即的两个同号且不等的实数根．
∵，∴同号，只须，即或，
∵，
∴当时，取最大值．
（组题）对于函数，若存在实数，使得成立，则称函数存在＂漂移点＂.
（1）判断函数是否存在＂漂移点＂？并说明理由；
（2）求证：函数在上存在＂漂移点＂；
（3）若函数在上存在“漂移点”，求实数的取值范围.
【答案】（1）不存在 （2）见解析 （3）
【解析】（1）假设函数有＂飘移点＂，则，
即，由此方程无实根，假设不成立．
所以函数不存在＂飘移点＂.（3分）
（2）证明，令，
则所以，
故．又因为函数的图像在上是连续的，
故方程在至少有一个实根．
因此，函数在上存在漂移点＂．
（3）若在上有＂漂移点＂，则成立，
即，整理得．由，则．
因此，实数的取值集合为．（12分）