人教版2025年八年级下册 第17章 勾股定理 单元测试卷
满分120分 时间100分钟
题号 选择题 填空题 解答题
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．5，12，13
C．0.3，0.4，0.5 D．4，6，8
2．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（ ）
A． B．28 C．128 D．100
3．下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a2：b2：c2＝3：4：5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝12，b＝16，c＝20
4．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1），B（5，3），则AB的长为（ ）
A． B．5 C．4 D．3
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，则AB2﹣BC2等于（ ）
A．4 B．16 C．20 D．25
6．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
8．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
10．将一支长为14cm的圆珠笔，放在底面内径为6cm，高为8cm的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为a cm，则a的取值范围是（ ）
A．a≤10 B．a≤8 C．a≥6 D．4≤a≤6
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为 ．
12．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 cm2．
13．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 ．
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形ABCD的边长为 ．
15．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，则∠BAC+∠ABC的度数为 ．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．当点P运动到边AB时，t为 秒时，△BCP为等腰三角形．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（7分）已知a、b、c满足．
（1）求a、b、c的值；
（2）判断：以a、b、c为三角形的三边能否构成三角形？若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说明理由．
18．（7分）如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上．
（1）AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ；
（2）△ABC是直角三角形吗？请作出判断并说明理由．
19．（7分）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝4cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝6cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝8cm时，求钟摆AD的长度．
20．（9分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）若AB＝13，BC＝5，求CD的值；
（2）证明：AC+BC＜AB+CD．
21．（9分）如图，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m．
（1）试判断以点A，B，C为顶点的三角形的形状，并说明理由；
（2）求该图的面积．
22．（9分）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是A﹣B﹣D和A﹣C﹣D．已知AB＝90米，AC＝150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方60米处．
（1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
（2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：）
23．（12分）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝ 米．
（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；
（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．
①求∠MPN的度数；
②求丙房间的宽AB．
24．（12分）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足b2＝ac+a2，则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 （填“真”或“假”）命题；
（2）如图1，若等腰△ABC是“和谐勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，求∠A的度数；
（3）如图2，在三角形ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．
①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由；
②请证明△ABC为“和谐勾股三角形”．人教版2025年八年级下册 第17章 勾股定理 单元测试卷
满分120分 时间100分钟
题号 选择题 填空题 解答题
得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．1，2，3 B．5，12，13
C．0.3，0.4，0.5 D．4，6，8
【解答】解：A、32＝9≠12+22，错误，不是勾股数，不符合题意；
B、52+122＝132，正确，是勾股数，符合题意；
C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意；
D、42+62＝52≠64＝82，错误，不是勾股数，不符合题意
故选：B．
2．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（ ）
A． B．28 C．128 D．100
【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100，
故选：D．
3．下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（ ）
A．∠A＝∠B+∠C B．a2：b2：c2＝3：4：5
C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝12，b＝16，c＝20
【解答】解：A、由∠A+∠B+∠C＝180°且∠A＝∠B+∠C可得∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故该选项能够判断一个三角形是直角三角形，不符合题意；
B、由a2：b2：c2＝3：4：5可得a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，
故符合题意；
C、由a：b：c＝3：4：5可设a＝3x，b＝4x，c＝5x，可得（3x）2+（4x）2＝25x2＝（5x）2，
∴△ABC是直角三角形，
故该选项能够判断一个三角形是直角三角形，不符合题意；
D、由a＝12，b＝16，c＝20可得a2+b2＝c2，符合勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，
故该选项能够判断一个三角形是直角三角形，不符合题意；
故选：B．
4．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1），B（5，3），则AB的长为（ ）
A． B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵A（2，﹣1），B（5，3），
∴AB5，
故选：B．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，则AB2﹣BC2等于（ ）
A．4 B．16 C．20 D．25
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴AB是斜边，AC和BC是直角边，由勾股定理可得AB2﹣BC2＝AC2，
∵AC＝4，
∴AB2﹣BC2＝AC2＝16．
故选：B．
6．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：根据勾股定理得：AC5，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴BD＝2．
故选：A．
7．四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
【解答】解：过B作BE∥CD交AD的延长线于E，
根据题意得：BE＝CD，DE＝BC，∠E＝90°，
∴AB2＝（AD+DE）2+BE2＝（AD+BC）2+CD2，
∵∠ADC＝∠C＝90°，
∴AB是最长边，长为9或x，
若AB＝x，CD＝9，则x，
若AB＝x，CD＝5，则x，
若AB＝x，CD＝1，则x，
若AB＝9，CD＝x，则x，
若AB＝9，CD＝5，则x，
若AB＝9，CD＝1，则x，
故选：C．
8．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项A：如图，
大正方形的面积等于四个三角形的面积加两小正方形的面积，
∴4ab+a2+b2＝（a+b）2，
故选项A不能得出勾股定理，符合题意；
选项B：如图，
大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
∴4ab+c2＝（a+b）2，
整理得a2+b2＝c2，
故选项B能得出勾股定理，不符合题意；
选项C：如图，
由图可得abab+c2＝6ab+（a﹣b）2，
整理得a2+b2＝c2，
故选项C能得出勾股定理，不符合题意；
选项D：如图，
由图可知S正方形ABDE＝4S△ABC+S正方形FCHG，
∵大正方形的面积＝c2，小正方形的面积＝（a﹣b）2，
∴4ab+（a﹣b）2＝（a+b）2，
即c2＝a2+b2，
故选项D能得出勾股定理，不符合题意；
故选：A．
9．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【解答】解：∵长方形折叠点B与点D重合，
∴BE＝ED，
设AE＝x，则ED＝9﹣x，BE＝9﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
即32+x2＝（9﹣x）2，
解得x＝4，
∴AE的长是4，
∴BE＝9﹣4＝5，
故选：C．
10．将一支长为14cm的圆珠笔，放在底面内径为6cm，高为8cm的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为a cm，则a的取值范围是（ ）
A．a≤10 B．a≤8 C．a≥6 D．4≤a≤6
【解答】解：如图，当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，最短为14144；
如图，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长，最长为14﹣8＝6，
故a的取值范围是4≤a≤6，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为 1 ．
【解答】解：利用勾股定理算得，
∴，
∴数轴上C点所表示的数为：．
故答案为：．
12．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 2π cm2．
【解答】解：∵以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，AC2＝AB2﹣BC2，
∴AC2＝26﹣10＝16，
∴以另一边AC为直径向外作半圆的面积为2π（cm2），
故答案为：2π．
13．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 x2+（x﹣6.8）2＝102 ．
【解答】解：设长方形门高x尺，则宽是（x﹣6.8）尺，
根据题意得x2+（x﹣6.8）2＝102，
故答案为：x2+（x﹣6.8）2＝102．
14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形ABCD的边长为 ．
【解答】解：图中的大正方形ABCD的边长，
故答案为：．
15．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，则∠BAC+∠ABC的度数为 45° ．
【解答】解：如图：连接AE，CE，
由题意得：AC2＝12+22＝5，
EC2＝12+22＝5，
AE2＝12+32＝10，
∴AC2+CE2＝AE2，
∴△ACE是直角三角形，
∴∠ACE＝90°，
∵CA＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA＝45°，
由题意得：AE∥BC，
∴∠ABC＝∠BAE，
∴∠CAB+∠ABC＝∠CAB+∠BAE＝∠CAE＝45°，
故答案为：45°．
16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．当点P运动到边AB时，t为 5或4.75或5.3 秒时，△BCP为等腰三角形．
【解答】解：在Rt△ABC中，ACB＝90°，
AC4cm．
①如图，当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形，
∴AC+CB+BP＝4+3+3＝10cm，
∴t＝10÷2＝5秒；
②如图，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，
∵PC ＝ PB，
∴∠PCB ＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠ACB+∠BCP＝90°，
∴∠A＝∠ACB，
∴AP＝PC，
∴PC＝PB，
∴PA＝PBAB＝2.5cm，
∴AC+BC+BP＝4+3+2.5＝9.5cm，
∴t＝9.5÷2＝4.75秒；
③如图，当CP＝CB＝3时，作CD⊥AB于D，
则△ABC的面积 4×3．
∴CD ＝2.4，
在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD 1.8，
∴PB＝2BD＝3.6，
∴CA+CB+BP＝4+3+3.6＝10.6（cm），
∴t ＝10.6÷2＝5.3秒．
综上所述，t为5秒或4.75秒或5.3秒时，△BCP 为等腰三角形．
故答案为：5或4.75或5.3．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（7分）已知a、b、c满足．
（1）求a、b、c的值；
（2）判断：以a、b、c为三角形的三边能否构成三角形？若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，b﹣c+2＝0，b﹣1＝0，
解得：，b＝1，c＝3；
（2）∵，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边能构成三角形，构成的三角形是直角三角形．
18．（7分）如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上．
（1）AB＝ ，BC＝ ，AC＝ 5 ；
（2）△ABC是直角三角形吗？请作出判断并说明理由．
【解答】解：（1）由题可知，AB；
AC5
BC，
故答案为：，，5；
（2）直角三角形，
∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25；
∴AB2+BC2＝AC2；
∴△ABC为直角三角形．
19．（7分）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝4cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝6cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝8cm时，求钟摆AD的长度．
【解答】解：设AB＝AD＝x cm，由题意得，CE＝BF＝6cm，
∴AC＝AD+DE﹣CE＝（x﹣2）cm，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（x﹣2）2+82＝x2，
∴x＝17，
∴AD＝17cm．
答：钟摆AD的长度17cm．
20．（9分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．
（1）若AB＝13，BC＝5，求CD的值；
（2）证明：AC+BC＜AB+CD．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC12，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC，
∴CD；
（2）证明：∵（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC BC，（AB+CD）2＝AB2+CD2+2AB CD，且AC2+BC2＝AB2，
∴（AC+BC）2﹣（AB+CD）2＝（AB2+2AC BC）﹣（AB2+CD2+2AB CD）＝2AC BC﹣CD2﹣2AB CD．
又∵，
∴2AC BC﹣CD2﹣2AB CD＝﹣CD2＜0，
∴（AC+BC）2＜（AB+CD）2，
∴AC+BC＜AB+CD．
21．（9分）如图，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m．
（1）试判断以点A，B，C为顶点的三角形的形状，并说明理由；
（2）求该图的面积．
【解答】解：（1）以点A，B，C为顶点的三角形的形状是直角三角形，
理由是：连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，
∴由勾股定理得：AC5m，
∵AB＝13m，BC＝12m，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
即以点A，B，C为顶点的三角形的形状是直角三角形；
（2）图形的面积S＝S△ACB﹣S△ADC24（m）2．
22．（9分）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是A﹣B﹣D和A﹣C﹣D．已知AB＝90米，AC＝150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方60米处．
（1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由；
（2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：）
【解答】解：（1）AB⊥BC，
理由如下：在△ABC中，AB＝90米，AC＝150米，BC＝120米，
∵AB2+BC2＝902+1202＝22500，AC2＝1502＝22500，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC；
（2）在Rt△BCD中，BC＝120米，DC＝60米，
由勾股定理得：BD60（米），
AB+BD＝90+60222米，AC+CD＝150+60＝210（米），
∵222＞210，
∴A﹣C﹣D路线更短．
23．（12分）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．
（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝ 3.2 米．
（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；
（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．
①求∠MPN的度数；
②求丙房间的宽AB．
【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，
∴PM2，
∵PB＝PM＝2，
∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米，
故答案为：3.2；
（2）∵∠MPN＝90°，
∴∠APM+∠BPN＝90°，
∵∠APM+∠AMP＝90°，
∴∠AMP＝∠BPN．
在△AMP与△BPN中，，
∴△AMP≌△BPN，
∴MA＝PB＝2.4，
∵PA0.7，
∴AB＝PA+PB＝0.7+2.4＝3.1；
（3）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°；
②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM．
设AB＝x，且AB＝ND＝x．
∵梯子的倾斜角∠BPN为45°，
∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°．
∵∠APM＝75°，
∴∠AMP＝15°．
∴∠DNM＝∠AMP，
∵△PNM为等边三角形，
∴NM＝PM．
∴△AMP≌△DNM（AAS），
∴AM＝DN，
∴AB＝DN＝AM＝2.8米，
即丙房间的宽AB是2.8米．
24．（12分）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足b2＝ac+a2，则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 假 （填“真”或“假”）命题；
（2）如图1，若等腰△ABC是“和谐勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，求∠A的度数；
（3）如图2，在三角形ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．
①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由；
②请证明△ABC为“和谐勾股三角形”．
【解答】解：（1）如图1，假设Rt△ABC是和谐勾股三角形，
∴ab+a2＝c2，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，
∴ab+b2＝a2+b2，
∴ab＝a2，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴等腰直角三角形是和谐勾股三角形，
即原命题是假命题，
故答案为：假；
（2）∵AB＝BC，AC＞AB，
∴a＝c，b＞c，
∵△ABC是和谐勾股三角形，
∴ac+a2＝b2，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°，
∴∠ABC＝64°，
根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°，
∵把这个三角形分成两个等腰三角形，
当射线经过点C，
（Ⅰ）当∠BCD＝∠BDC时，
∵∠ABC＝64°，
∴∠BCD＝∠BDC＝58°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°，
∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅱ）当∠BCD＝∠ABC＝64°时，
∴∠BDC＝52°，
∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°，
∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅲ）当∠BDC＝∠ABC＝64°时，
∴∠BCD＝52°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC，
∴△ACD是等腰三角形，
即：分割线和顶角标注如图2所示，
当射线经过点B，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；
当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A，
作CG⊥AB于G，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，
∵∠B＝2∠A，
∴∠CDB＝∠B，
∴CD＝CB＝a，
∵∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD＝a，
∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，
∵CG⊥AB，
∴DG＝BG（c﹣a），
∴AG＝AD+DG＝a（c﹣a）（a+c），
在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[（c+a）]2，
在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[（c﹣a）]2，
∴b2﹣[（a+c）]2＝a2﹣[（c﹣a）]2，
∴b2＝ac+a2，
∴△ABC是“和谐勾股三角形”．
