2024-2025学年上海市杨浦高级中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市杨浦高级中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是( )
A. B. C. D.
2.“”是“直线与直线相互垂直”的条件．
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
3.设，为两个随机事件，
若，是互斥事件，，则；
若，是对立事件，则；
若，是独立事件，，，则；
若，，且，则，是独立事件．
以上个命题，正确的序号选项为( )
A. B. C. D.
4.如图，在棱长为的正方体中，点、分别在线段和上，给出下列命题：有且仅有一条直线与垂直；存在点、，使为等边三角形，则( )
A. 、均为真命题
B. 、均为假命题
C. 为真命题，为假命题
D. 为假命题，为真命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.“平面与相交于直线”用符号语言可以表述为______．
6.设是一个随机事件，则的取值范围是______．
7.直线的倾斜角______．
8.已知向量，则在上的投影向量的坐标是______．
9.如图是某校高二年级举办的歌咏比赛上，五位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______．
10.以下四个命题中，所有真命题的序号为______．
三角形及其内部绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；
正棱柱的侧棱垂直于底面；
棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；
圆锥的轴截面一定是等腰三角形．
11.直线与直线的夹角大小为______．
12.直线与直线平行，则 ______．
13.已知是棱长为的正四面体若点满足，其中，则的最小值为______．
14.有一种空心钢球，质量为，测得球的外直径等于，若球壁厚度均匀，则它的内直径为______钢的密度是，结果精确到．
15.如图，已知正三角形和正方形的边长均为，且二面角的大小为，则 ______．
16.对于平面中的点集，，，，定义直线相对的“拟合误差”为，已知点集，，，直线相对的“拟合误差”的最小值为______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
求证：；
求异面直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
已知直线的斜率为，且这条直线经过点．
求直线的一般式方程；
若直线恒过定点，求点到直线的距离．
19.本小题分
已知集合，，若分别从集合，中随机抽取一个数和，二次函数记事件为“是二次函数的单调递增区间”，事件为“是二次函数的单调递减区间”．
求数对的样本空间中所含样本点的个数；
分别求事件、事件的概率；
求事件、事件至少一个发生的概率．
20.本小题分
为提升某校高二学生的数学素养，随机选择名学生进行基础知识掌握情况的测评满分分，根据测评结果的得分数据，制成如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图，求的值；
估计这名学生在测评中得分的分位数；
若采用按比例分层抽样的方法从得分在，的两组中共抽取人，再从这人中随机抽取人进行个别交流，求选取的人得分分别在和内各人的概率．
21.本小题分
如图所示正四棱锥，其中为底面的中心．
求证：平面；
设为上的一点，．
若，求直线与平面所成角的大小．
已知平面与平面所成锐二面角的大小为，若，求的长．
参考答案
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17.解：证明：如图，以为原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
所以，，
所以，
所以，
故EF，得证；
因为，
所以，
因为，且，
所以．
18.解：因为直线的斜率为，且这条直线经过点，
可得直线的方程为：，
整理可得：；
直线整理可得：，可得恒过定点，
可得点到直线：的距离．
19.解：由题意得，，
数对的样本空间为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，
数对的样本空间中所含样本点的个数为；
事件为“是二次函数的单调递增区间”，
，且二次函数的对称轴为，
事件包含的基本事件为，，，共个，
事件的概率为；
事件为“是二次函数的单调递减区间”．
，且二次函数的对称轴为，
事件包含的基本事件有，，，，，共个，
事件的概率为．
由题意得事件与事件互斥，
事件、事件至少一个发生的概率为：
．
20.解：根据题意可得，解得；
各组的频率依次为，，，，，
估计这名学生在测评中得分的分位数为；
，两组的频率之比为：：，
在中抽取人，在中抽取人，
再从这人中随机抽取人进行个别交流，
则选取的人得分分别在和内各人的概率为．
21.证明：由正四棱锥的性质知，四边形为正方形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
解：由题意知，，，两两垂直，
故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
若，则，，
所以，
易知平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，，
则，，
所以，
故直线与平面所成角的大小为．
设，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
因为平面与平面所成锐二面角的大小为，即该锐二面角的余弦值为，
所以，解得负值已舍，
所以，
所以．
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