2024-2025学年甘肃省武威八中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年甘肃省武威八中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线：的方向向量可以是( )
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知直线与直线垂直，则( )
A. B. C. D.
4.五声音阶汉族古代音律是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为宫，商，角，徵，羽若将这五个音阶排成一列，形成一个音序，且要求宫、羽两音节不相邻，可排成不同的音序的种数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.二项式的展开式中常数项为( )
A. B. C. D.
6.过点作圆的切线，切点为，则切线段长为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图所示，点是抛物线的焦点，点，分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的二项展开式中，下列说法正确的是( )
A. 展开式中所有项的系数和为
B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为
C. 展开式中含项的系数为
D. 展开式中二项式系数的最大项为第四项
10.为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设天，则下列结论正确的是( )
A. 从六门课程中选两门的不同选法共有种
B. 课程“数”不排在最后一天的不同排法共有种
C. 课程“礼”“书”排在相邻两天的不同排法共有种
D. 课程“乐”“射”“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有种
11.已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 在处取得极小值 D. 在处取得极大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线过点，若的斜率为，则直线的一般式方程为______．
13.已知不等式恒成立，则的取值范围是______．
14.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且存在点，使得，则称为函数在闭区间上的中值点试求函数在区间上的“中值点”______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
从名同学中选名同学组成一个代表队，参加米接力比赛，问有多少种参赛方案？
从名同学中选名同学参加场外啦啦队，问有多少种选法？
名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，问有多少种参赛方案？
16.本小题分
已知函数在处取得极值．
求实数的值；
当时，求函数的最值．
17.本小题分
已知椭圆：过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程．
18.本小题分
已知双曲线的两个焦点坐标分别为，，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于．
求双曲线的标准方程；
经过点作直线交双曲线的右支于，两点，且为的中点，求直线的方程．
已知定点，点是双曲线右支上的动点，求的最小值．
19.本小题分
已知函数的导函数为．
若，求曲线在点处的切线方程；
若存在两个不同的零点，，求实数的取值范围；
在的条件下，证明：．
参考答案
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15.解：从名同学中选名同学组成一个代表队，参加米接力比赛，有种参赛方案；
从名同学中选名同学参加场外啦啦队，有种选法；
名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，有种参赛方案．
16.解：，
函数在处取得极值，
所以有，经检验满足题意；
由可知：，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
故函数在处取得极小值，因此，
，，
故函数的最大值为，最小值为．
17.解：Ⅰ抛物线的焦点为，
由题意得，
解得，，
所以椭圆的方程为．
Ⅱ直线的斜率存在，设斜率为，
直线的方程为，即，
联立，
消去得：，
设，，
因为，即，
所以，解得，
所以所求直线的方程为．
18.本小题满分分
解：依题意，得双曲线的实半轴长为，焦半距为，
其虚半轴长，
又其焦点在轴上，
双曲线的标准方程为．
设、的坐标分别为、，
则
两式相减，得，
为的中点，
，
，
．
所在直线的方程为，即．
由已知，得，即，
，
当且仅当，，三点共线时取等号．
，
，
的最小值为．
19.解：若，，，，且，
曲线在点处的切线方程为．
，设．
令，得，在上，，在上，，
在上单调递减，在上单调递增，
又当或时，，
要使有两个零点，只需，解得，的取值范围为．
证明：由题意及知，存在不同的，，使得，
不妨设，则，．
设，则，
当时，，在上恒成立，
当时，单调递减，，即．
，在上单调递增，，即．
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