2024-2025学年吉林省长春市长春八中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春八中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知函数与的图象如图所示，则函数( )
A. 在区间上是减函数
B. 在区间上是减函数
C. 在区间上是减函数
D. 在区间上是减函数
3.已知等差数列，其前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
4.若，则以下不等式正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为( )
A. B.
C. D.
6.设数列满足，，，，则满足的的最大值是( )
A. B. C. D.
7.双曲线：的一条渐近线与函数为自然对数的底数的图象相切，则双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数，若，则
B. 已知函数在上可导，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
10.设数列满足，记数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
11.已知为直角坐标平面的动点，关于的轨迹方程正确的( )
A. 点，直线的方程，若等于到的距离，点轨迹方程
B. 圆方程：，圆方程：，动圆分别圆、相切，点轨迹方程
C. 点，与点距离满足，的方程
D. 圆方程：，，点为圆上动点，的垂直平分线交于点，点轨迹方程
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为______．
13.过椭圆的右焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，直线过椭圆的左焦点和上顶点若以为直径的圆与相切，则椭圆的离心率为______．
14.若函数在内有最小值，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极小值，且极小值为．
求，的值；
求在上的值域．
16.本小题分
圆心在直线上的圆与轴的负半轴相切，圆截轴所得弦的长为．
求圆的标准方程；
过点作圆的切线，求切线的方程；
若圆上恰好有个点到直线：的距离为，求的值．
17.本小题分
已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
求的通项公式；
若数列是公比为的等比数列，且，求的前项和．
18.本小题分
已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，过点作两条直线，，直线与交于，两点，的周长为．
求的方程；
若的面积为，求的方程；
若与交于，两点，且的斜率是的斜率的倍，求的最大值．
19.本小题分
已知．
若恒成立，求的范围；
证明不等式：．
参考答案
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15.解：由题意可得，
因为在处取得极小值，且极小值为，
所以，解得，
此时，满足在处取得极小值，
故．
由得，，
当时，令解得，令解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在上的最大值为，
又因为，所以在上的最小值为，
故在上的值域为．
16.解：因为圆的圆心在直线上，所以可设圆心，
因为圆与轴的负半轴相切，所以，半径，
又圆截轴所得弦的长为，所以，解得，
所以圆的圆心，半径，
所以圆的标准方程为；
由可知圆的圆心，半径，
因为与圆相切，所以圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，：，此时圆心到直线的距离，符合题意，
当直线斜率存在时，设斜率为，则：，即，
此时圆心到直线的距离，解得，
即直线的方程为：，
即，
综上所述：切线的方程为或；
因为圆上恰好有个点到直线：的距离为，
所以直线分割圆为一段优弧和一段劣弧，
在劣弧上有且仅有一个点到直线的距离为，且该点为劣弧的中点，
所以圆心到直线：的距离，
即，解得或．
17.解：设为公差不为零的等差数列，其前项和为，
由，可得，即，
由，，成等比数列，可得，即，
化为，
解得，，
则；
由数列是公比为的等比数列，且，
可得，
即有，
则的前项和．
18.解：由题意知，所以，
又的周长为，
所以，所以，
故椭圆的方程为；
易知的斜率不为，设：，，，
联立，得，
所以，
所以，
所以，解得，
所以的方程为或；
由可知，
因为的斜率是的斜率的倍，所以，
所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为．

19.解：由，得，
当时，不等式成立；
当时，原不等式化为恒成立，令，得．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当时，；
当时，原不等式化为恒成立，令，得．
当时，，单调递减，而时，且，
当时，．
综上所述，的范围为；
证明：由要证不等式可知，，
由知恒成立，当且仅当时等号成立．
，即，可得，当且仅当时成立．
，，
，，
则．
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