安徽省安庆市第一中学2025届高三上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

安徽省安庆市第一中学2025届高三上学期1月期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数集，集合，集合，则
A. B. C. D.
2.已知，，，则向量 在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知是奇函数，当时，其中为自然对数的底数，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
6.在正四棱锥中，，是棱上一点，且，过点作平面底面，分别交，，于点，，，若，则多面体的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，直线与的图象交于，两点，在，两点处分别作的两条切线，，这两条切线交于点，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线，直线，过抛物线的焦点作直线的垂线，垂足为，若点是拋物线上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，下列说法正确的是( )
A. 复数，则在复平面内对应的点位于第四象限
B.
C. 若复数，满足，则
D. 若，则的最大值为
10.如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则( )
A. 三棱锥的体积为
B. 直线与直线所成角的余弦值为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 三棱锥外接球的半径为
11.已知函数，函数，，则( )
A. 对任意实数，
B. 对任意实数，，都有
C. 存在实数，使得
D. 若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，， ，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于、两点若，则的离心率为 ．
13.某种产品有件次品和件正品，每件产品均不相同且可区分，今每次取出一件来测试，直到这件次品全测出为止，则最后一件次品恰好在第五次测试时被发现，则不同情况种数是 用数字作答
14.在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中心在原点，焦点在轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点、，且，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为，离心率之比为：．
求这两曲线方程；
若为这两曲线的一个交点，求的面积．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面为等腰梯形，点在底面的射影点在线段上
证明：面面
若求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，，为函数的导函数．
讨论函数的单调性；
若任意，恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知数列对于任意都有．
求数列的通项公式．
设数列前项和为，求．
证明：，．
19.本小题分
某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛的结果相互独立．
若比赛规则为：每局比赛后，胜者获得分，负者获得分；连续局获胜或积分率先达到分者可获得冠军，比赛结束已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望；
若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为已知甲乙进行了局比赛且甲胜了局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值．
若每局比赛甲获胜的概率为，规定在场比赛中甲超过一半场次获胜就获得冠军，记其概率为，试说明的单调性并给出证明。
参考答案
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14.
15.解：由题意知，半焦距，设椭圆长半轴为，则双曲线实半轴，
离心率之比为，解得，
椭圆的短半轴长等于，
双曲线虚半轴的长为，
椭圆和双曲线的方程分别为：和；
由椭圆、双曲线的对称性，不妨设、分别为左、右焦点，是第一象限的一个交点，
由椭圆的定义得：，
由双曲线的定义得：，
，，
又，在三角形中，利用余弦定理得：
，
，则．
．
16.解：
连接 ，有 平面 ，平面 ，所以 ．
在 中， ．
同理，在 中，有 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ， ，故 ，即 ．
又因为 平面 ，所以 平面 ，平面 ，
所以面面．
依题意， ，故 为 ， 的交点，且 ．
所以 ， ．
过 作直线 的平行线 ，则 ， ， ，两两垂直，
以 为原点建立如图所示空间直角坐标系，
则： ， ， ， ，
所以 ， ， ，
．
设平面 的法向量为，
则 取 ．
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，
所以 ，
故所求锐二面角余弦值为 ．

17.解：，定义域为．
令，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由得，由得，
函数在上单调递减，在上单调递增；
由得，
任意，恒成立，转化为方程在上恒成立，
则任意，成立，
则，
令，则，
令，，故在上单调递增，，
故，在上单调递增，
，
故．
故的取值范围为．
18.解：因为，
当时，，
由，得到，所以，
又时，，得到，满足，
所以数列的通项公式为．
由题意，
所以，得到，
由，得到，
所以．
因为，，所以时，，
当时，，
当时，，
当时，
，
综上，，．

19.由比赛规则可知，局比赛后，甲乙双方共获得分，若比赛进行了局还未结束，则双方共计分，此时双方均为分，则第局比赛后必定有一人积分可达到分，故比赛次数不会超过
由比赛规则可知，若比赛共进行了局，，
即随机事件“第局比赛中甲获胜”，
，
，
，
．
于是的分布列为：
故E
易得，∽，，
记，
则
由，得，即，，，
故时，最大，所以的估计值为．
在场比赛中甲获胜概率为，则在场比赛中甲获胜概率为，记乙在每场比赛是获胜概率为，
则
由已知，所以单调递增．
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