黑龙江省牡丹江市协同发展共同体第三子共同体2024-2025学年高一上学期期末考试 数学（含答案）

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协同发展共同体第三子共同体2024—2025学年度第一学期期末考试
高一 数学试卷
考试时间：120分钟 分值：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1. 设集合，，则（　 ）
A. B. C. D.
2. 命题，，则是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3．在单位圆中，已知角是第二象限角，它的终边与单位圆交于点，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C． D
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6. 已知,则是的()
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7．函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．在上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．若，则的最小值为
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 函数在是减函数，且，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
11．已知，且为锐角，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为___．
13.若，，则实数的取值范围为________.
14．已知 在R上单调递减，则实数a的取值范围是.
四、解答题：本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.(13分）（1）已知，求的值；
（2）求的值.
16（15分）已知幂函数的图象关于y轴对称.
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域.
17．（15分）已知
(1)化简
(2)若，求的值；
(3)若为第三象限角，且，求的值.
18．（17分）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明；
(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
19.（17分）函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上最大值和最小值.
选做19.（17分）函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；
(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域．
协同发展共同体第三子共同体2024—2025学年度第一学期期末考试
高一 数学试卷
11．ABD
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B C D A D A C B ABC AC ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共
12 13 14
四、解答题：本大题共5题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.(13分）（1）已知，求的值；
（2）求的值.
解析：（1），
化简得；再次平方，得...........6分
（2）
，
又，
所以，原式.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,7分
16（15分）已知幂函数的图象关于y轴对称.
(1)求的解析式；
(2)求函数在上的值域.
【解答过程】（1）因为是幂函数，
所以，解得或．..................2分
当时，，则， ，则函数图象不关于轴对称，故舍去，
当时，则，定义域为，关于原点对称，..................4分
且，则此时为偶函数，图象关于轴对称，
故．..................7分
（2）
，..................10分
因为， ，................14分
故在上的值域为．..................15分
17．（15分）已知
(1)化简
(2)若，求的值；
(3)若为第三象限角，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
...................5分
（2）因为，
所以...................5分
（3）因为，所以，
又为第三象限角，所以，
所以...................5分
18．（17分）已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明；
(3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，
所以，所以，，
又，得，解得，
所以，
因为，
所以是奇函数，符合题意.
所以...................5分
（2）由（1）知.
在上单调递减，证明如下：
任取，设，
，
因为在上是增函数，所以，，
又，所以，从而，
所以在上单调递减...................5分
（3）因为为奇函数，且恒成立，
即恒成立，
因为在上单调递减，
所以恒成立，即恒成立，
所以，解得.
所以的取值范围为..................5分
19.（17分）函数f(x)＝3sin的部分图象如图所示.
(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f(x)在区间上最大值和最小值.
解　(1)由题得，f(x)的最小正周期为π，y0＝3.
当y0＝3时，sin＝1，..................4分
由题干图象可得2x0＋＝2π＋，
解得x0＝...................8分
(2)因为x∈，
所以2x＋∈...................12分
于是：当2x＋＝0，即x＝－时，f(x)取得最大值0；
当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－3..................17分
选做19.（17分）函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递减区间；
(2)将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域．
【答案】(1)最小正周期为，，．
(2)
【详解】（1）
，.................4分
因为，所以的最小正周期为.
令，，解得，，
所以函数的单调减区间为，．..................8分
（2）函数的图象先向左平移个单位得到，
将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，..................12分
时，，
所以当时，解得，此时函数为增函数；
当时，解得，此时函数为减函数；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数的最大值为，又因为，，..................16分
所以函数的最小值为，所以的值域为．..................17分