2024-2025学年北京市西城区育才学校高二上学期12月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市西城区育才学校高二上学期12月月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知动点满足，则动点的轨迹是( )
A. 双曲线 B. 双曲线左支 C. 双曲线右支 D. 一条射线
2.原点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
4.双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
5.已知直线与圆交于，两点，则线段的垂直平分线方程为( )
A. B. C. D.
6.将张座位编号分别为，，，的电影票全部分给三人，每人至少张．如果分给同一人的张电影票具有连续的编号，那么不同的分法种数是( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：的左右焦点为，离心率为，过的直线交与，两点，若的周长为，则的方程为
A. B. C. D.
8.设双曲线的右焦点为，过点的直线平行于双曲线的一条渐近线，与另一条渐近线交于点，与双曲线交于点，若为线段的中点，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
9.过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，点为底面上的动点，
到的距离记为，若，则点在底面正方形内的轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.请写出一个焦点在轴，且以为渐近线方程的双曲线的标准方程 ．
12.直线被圆所截得的弦长为
13.圆与圆相切、求实数的值
14.若，则
15.抛物线的准线的方程为 若点是抛物线上的动点，与轴交于点，则是坐标原点的最大值为 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
某次文艺晚会上计划演出个节目，其中个歌曲节目，个舞蹈节目，个小品节目，需要制作节目单：
唱歌节目排在两头，有多少种排法
三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法
唱歌节目、舞蹈节目相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法
由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵育才赋和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，交于点，为的中点．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆，直线过点与椭圆交于两点，为坐标原点．
设为的中点，当直线的斜率为时，求线段的长；
当面积等于时，求直线的斜率．
19.本小题分
矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．
求边所在直线的方程；
求矩形外接圆的方程；
若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，为中点，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小；
求四面体的体积．
21.本小题分
已知椭圆过点，焦距为．
求椭圆的方程，并求其短轴长；
过点且不与轴重合的直线交椭圆于两点，，连接并延长交椭圆于点，直线与交于点，为的中点，其中为原点设直线的斜率为，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.只要满足就行
12.
13.和．
14.
15.
16.先排唱歌节目，有种排法，
再将剩下的个节目全排列，有种方法，
故共有种排法；
将个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．
再将剩下个节目全排列，有种排法．
最后，将舞蹈节目整体放入剩下个节目排布时产生的不含两端的个空中，
有种排法，故共有种排法；
将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．
再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．
则共有种排法．
将新增两个节目放入个节目排布产生的个空中．
若两个节目放入同一个空，有种排法，
若两个节目不放入同一个空，有种排法，
故共有种排法．

17.Ⅰ证明：因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
所以．
因为，，所以平面B.
因为平面，所以．
因为，，
所以平面C.
Ⅱ解：由Ⅰ知，，两两垂直，
如图建立空间直角坐标系．
则，，，．
设，所以，，，
因为，所以，即．
所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
所以所以即
令，则，，
所以平面的一个法向量为．
所以．
由已知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
18.解：Ⅰ当直线的斜率为时，直线的方程为．
代入椭圆方程得，
可知：，
设，，
则，
所以，，
所以．
Ⅱ由题意，直线的斜率存在且不为，设直线：，
由得，
所以，
，，
．
原点到直线的距离，
所以面积为．
因为面积等于，
所以，
解得，
带入判别式检验，符合题意，所以．
19.解：因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
．
由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为．
所以为矩形外接圆的圆心．
又．
从而矩形外接圆的方程为．
因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，
所以，
即．
故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长，半焦距．
所以虚半轴长．
从而动圆的圆心的轨迹方程为

20.因为，是的中点，所以，
由于平面平面且交线为，平面，所以平面，
由于平面，所以，
由于平面，平面，所以，
由于平面，所以平面；
因为平面，，所以平面，
平面，所以，而平面，
平面，所以，
由此以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，故可设，
设直线与平面所成角为，
则，
由于，所以，
所以直线与平面所成角的大小为．
因为，
所以点到平面的距离，
由于平面，平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
所以四面体的体积．

21.解：由题意知，．
所以，．
所以椭圆的方程为，其短轴长为．
设直线的方程为，，，则．
由，得．，
所以．
由得直线的方程为．
由得．
因为，
所以，．
所以．
因为为的中点，且，
所以．
所以直线的斜率
．
当时，．
当时，
因为，当且仅当时，等号成立．
所以．
所以当时，取得最大值．

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