安徽省“天一大联考”2025届高三上学期1月期末检测数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 安徽省“天一大联考”2025届高三上学期1月期末检测数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 63.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-24 16:48:23 | ||
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文档简介
安徽省“天一大联考”2025届高三上学期1月期末检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则
A. B. C. D.
2.已知集合，，，则
A. B. C. D.
3.的展开式中的常数项为
A. B. C. D.
4.过点作曲线的切线，则的斜率为
A. B. C. D.
5.已知椭圆：与抛物线：有公共焦点，且与的一个交点为，则的离心率为
A. B. C. D.
6.已知圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等，设圆锥的体积为，圆柱的体积为，则的取值范围是
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知点，第一象限内的一个动点满足，设动点的轨迹为曲线，若完全在一个正方形内，则正方形面积的最小值为
A. B. C. D.
8.方程的解不包括
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是
A. 若，则
B.
C. 若，则
D.
10.已知函数，则
A. 为偶函数 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为
11.已知函数，则下列结论正确的是
A. 若，则为偶函数
B. 若，且函数有两个不同的零点，则的取值范围为
C. 若，则当，且时，一定有
D. 若，且关于的方程在内存在个不同的实数根，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则__________．
13.已知正实数，满足，且，则__________．
14.在棱长为的正方体中，是棱的中点，点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某公司拟通过摸球的方式给员工发放节日红包，在一个不透明的袋子中装有个标有红包金额的球，其中个球分别标注元，个球分别标注元，个球标注元，这个球除标注的金额外完全相同．每名员工从袋中一次摸出个球，共摸次，摸出的球上所标注的金额之和为该员工所获得的红包金额．
Ⅰ若，求一名员工所获得的红包金额不低于元的概率；
Ⅱ若，且每次摸出的球放回袋中，设事件为“一名员工所获得的红包金额不大于元”，事件为“一名员工所获得的红包金额不小于元”，试判断，是否相互独立，并说明理由．
16.本小题分
如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，高为，和分别是上、下底面圆的直径，且，是弧的中点，是的中点，是下底面内一点．
Ⅰ若，求的长；
Ⅱ求二面角的正弦值．
17.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，已知，．
Ⅰ求的取值范围；
Ⅱ若对任意的，都有，且，，成等差数列，，，也成等差数列，证明：的周长为定值．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ证明：，；
Ⅱ判断函数的零点的个数，并说明理由．
19.本小题分
“共轭双曲线”是两条具有特殊位置关系的双曲线，如果一双曲线的实轴与虚轴分别为另一双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线．
Ⅰ设双曲线，的离心率分别为，，若，互为共轭双曲线，证明：．
Ⅱ已知双曲线：的离心率为，且的共轭双曲线经过点．
(ⅰ)求的方程；
(ⅱ)设为上的点，直线与轴相交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，若且，求的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ一名员工所获得的红包金额不低于元，即获得元或元，故所求概率为．
Ⅱ由题意，事件表示“一名员工所获得的红包金额为元”因为，
所以．
“一名员工所获得的红包金额为元或元或元”，
因为，，所以．
“一名员工所获得的红包金额为元或元或元，
因为，，所以．
所以，所以，不相互独立．
16.解：Ⅰ如图，连接并延长，与交于点，连接，
则是平面与平面的交线．
因为，平面，所以平面所以H.
又是的中点，所以是的中点，
因为是弧的中点，所以，所以．
Ⅱ如图，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则取．
易知平面的一个法向量为．
因为，，
所以二面角的正弦值为．
17.解：Ⅰ由余弦定理得，
因为，所以，即，所以，
所以，
因为，所以的取值范围是
Ⅱ由题意知，，成等差数列，，，也成等差数列，所以，，
所以，整理得．
又因为，即，所以，即．
所以的周长是，为定值．
18.解：Ⅰ证明：欲证，，即证，，
令 ，则，
当时，，，
所以当时，，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以，成立．
Ⅱ令，所以，
当时，，，所以，即在上无零点
当时，，，所以，
所以在上单调递增，所以，
即在上无零点；
当．时，令，则，
显然在上单调递增，
又，，
所以存在使得，
因此可得时，，单调递减当时，，单调递增，
又，．
所以存在，使得，
即时，，，单调递减时，，，单调递增．
又，，所以在上有个不同的零点
当时，单调递增，所以，即恒成立，
所以在上无零点，
综上，函数有个不同的零点．
19.解：Ⅰ设，则的实轴端点为，虚轴端点为，
根据共轭双曲线的定义，的虚轴端点为，实轴端点为，所以．
的离心率为，的离心率为，
则，整理得．
Ⅱ由题意可得，因为的离心率为，所以的离心率为，即，化简得．
又经过点，所以，解得，所以所以的方程为．
设，则，因为，所以．
设直线，的斜率分别为，，因为，
所以，
所以
所以，
分和讨论，去掉绝对值符号，均可得到，
化为整式得，
整理得，所以．
因为，所以，所以，解得或．
当时，得，不符合题意，所以．
代入的方程，得的坐标为或
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数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则
A. B. C. D.
2.已知集合，，，则
A. B. C. D.
3.的展开式中的常数项为
A. B. C. D.
4.过点作曲线的切线，则的斜率为
A. B. C. D.
5.已知椭圆：与抛物线：有公共焦点，且与的一个交点为，则的离心率为
A. B. C. D.
6.已知圆锥与圆柱的底面半径相等，侧面积也相等，设圆锥的体积为，圆柱的体积为，则的取值范围是
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，已知点，第一象限内的一个动点满足，设动点的轨迹为曲线，若完全在一个正方形内，则正方形面积的最小值为
A. B. C. D.
8.方程的解不包括
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，则下列结论正确的是
A. 若，则
B.
C. 若，则
D.
10.已知函数，则
A. 为偶函数 B. 的最小正周期为
C. 的图象关于直线对称 D. 的最大值为
11.已知函数，则下列结论正确的是
A. 若，则为偶函数
B. 若，且函数有两个不同的零点，则的取值范围为
C. 若，则当，且时，一定有
D. 若，且关于的方程在内存在个不同的实数根，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则__________．
13.已知正实数，满足，且，则__________．
14.在棱长为的正方体中，是棱的中点，点，分别在棱，上，且，则四面体的体积为__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某公司拟通过摸球的方式给员工发放节日红包，在一个不透明的袋子中装有个标有红包金额的球，其中个球分别标注元，个球分别标注元，个球标注元，这个球除标注的金额外完全相同．每名员工从袋中一次摸出个球，共摸次，摸出的球上所标注的金额之和为该员工所获得的红包金额．
Ⅰ若，求一名员工所获得的红包金额不低于元的概率；
Ⅱ若，且每次摸出的球放回袋中，设事件为“一名员工所获得的红包金额不大于元”，事件为“一名员工所获得的红包金额不小于元”，试判断，是否相互独立，并说明理由．
16.本小题分
如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，高为，和分别是上、下底面圆的直径，且，是弧的中点，是的中点，是下底面内一点．
Ⅰ若，求的长；
Ⅱ求二面角的正弦值．
17.本小题分
设的内角，，的对边分别为，，，已知，．
Ⅰ求的取值范围；
Ⅱ若对任意的，都有，且，，成等差数列，，，也成等差数列，证明：的周长为定值．
18.本小题分
已知函数．
Ⅰ证明：，；
Ⅱ判断函数的零点的个数，并说明理由．
19.本小题分
“共轭双曲线”是两条具有特殊位置关系的双曲线，如果一双曲线的实轴与虚轴分别为另一双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线．
Ⅰ设双曲线，的离心率分别为，，若，互为共轭双曲线，证明：．
Ⅱ已知双曲线：的离心率为，且的共轭双曲线经过点．
(ⅰ)求的方程；
(ⅱ)设为上的点，直线与轴相交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，若且，求的坐标．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：Ⅰ一名员工所获得的红包金额不低于元，即获得元或元，故所求概率为．
Ⅱ由题意，事件表示“一名员工所获得的红包金额为元”因为，
所以．
“一名员工所获得的红包金额为元或元或元”，
因为，，所以．
“一名员工所获得的红包金额为元或元或元，
因为，，所以．
所以，所以，不相互独立．
16.解：Ⅰ如图，连接并延长，与交于点，连接，
则是平面与平面的交线．
因为，平面，所以平面所以H.
又是的中点，所以是的中点，
因为是弧的中点，所以，所以．
Ⅱ如图，分别以直线，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，则取．
易知平面的一个法向量为．
因为，，
所以二面角的正弦值为．
17.解：Ⅰ由余弦定理得，
因为，所以，即，所以，
所以，
因为，所以的取值范围是
Ⅱ由题意知，，成等差数列，，，也成等差数列，所以，，
所以，整理得．
又因为，即，所以，即．
所以的周长是，为定值．
18.解：Ⅰ证明：欲证，，即证，，
令 ，则，
当时，，，
所以当时，，
所以在上单调递增，
所以当时，，
所以，成立．
Ⅱ令，所以，
当时，，，所以，即在上无零点
当时，，，所以，
所以在上单调递增，所以，
即在上无零点；
当．时，令，则，
显然在上单调递增，
又，，
所以存在使得，
因此可得时，，单调递减当时，，单调递增，
又，．
所以存在，使得，
即时，，，单调递减时，，，单调递增．
又，，所以在上有个不同的零点
当时，单调递增，所以，即恒成立，
所以在上无零点，
综上，函数有个不同的零点．
19.解：Ⅰ设，则的实轴端点为，虚轴端点为，
根据共轭双曲线的定义，的虚轴端点为，实轴端点为，所以．
的离心率为，的离心率为，
则，整理得．
Ⅱ由题意可得，因为的离心率为，所以的离心率为，即，化简得．
又经过点，所以，解得，所以所以的方程为．
设，则，因为，所以．
设直线，的斜率分别为，，因为，
所以，
所以
所以，
分和讨论，去掉绝对值符号，均可得到，
化为整式得，
整理得，所以．
因为，所以，所以，解得或．
当时，得，不符合题意，所以．
代入的方程，得的坐标为或
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