安徽省芜湖市2025届高三上学期期末教学质量监控数学试卷（含答案）

安徽省芜湖市2025届高三上学期期末教学质量监控数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，且，则实数为( )
A. B. C. D.
3.若的展开式各项系数之和为，则实数为( )
A. B. C. D.
4.已知向量在向量上的投影向量为，，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
6.在封闭的圆锥内有一个表面积为的球，若圆锥的轴截面是一个边长为的等边三角形，则该球表面积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的部分图象如图所示，且在上恰有个极大值点和个极小值点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，，，，的角平分线交于，则( )
A. 是钝角三角形 B.
C. D.
10.在信道内传输，信号，信号的传输相互独立由于随机因素的干扰，发送信号或有可能被错误地接收为或已知发送时，接收为和的概率分别为和发送时，接收为和的概率分别为和以下叙述正确的是( )
A. 若重复发送信号两次，则接收信号均为的概率为
B. 若重复发送信号两次，则两次接收信号不同的概率为
C. 若发送信号为或的概率均为，则接收信号为的概率为
D. 若接收信号为的概率为，则发送信号为的概率为．
11.在棱长为的正方体中，为棱中点，为棱上一动点，，点在平面内运动，下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 在动点由运动至的过程中，二面角先增大后减小
C. 平面截正方体所得截面图形可能是等腰梯形
D. 若为棱中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是椭圆的左焦点，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，则 ．
13.若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ．
14.已知数列满足，，则 ， ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调性和极值
作出函数的大致图象参考数据：
16.本小题分
已知直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为．
求双曲线的离心率
是双曲线上的一个动点，过作的渐近线的两条垂线，垂足分别为，，求四边形周长的最小值．
17.本小题分
如图所示，边长为的正方形为圆柱的轴截面，为圆上异于，的点，为线段的中点．
求证：平面
若二面角的正弦值为，求的值．
18.本小题分
生物研究工作中，统计鸟类主要是研究鸟类种群数量和分布规律，其中固定半径样点法是一种常见的统计方法，即记录以观测者为圆心的一定半径范围内所有鸟类个体，然后用鸟类统计数和样点总面积来计算鸟类密度的数量统计方法．
统计人员发现某鸟类在区域经常出没，为了估计此类鸟的数量，采取固定半径样点法，其中鸟类密度单位：只平方米的计算公式为，鸟类密度，所有样点记录鸟类数量的平均数，每个样点区域面积，已知区域的总面积为平方米，每个记录的样点区域半径为米，样点数为个，统计如下表
样点编号
鸟类数量
试估计区域内该鸟类的总数量结果保留整数
参考数据：．
在区域采取中方法统计时发现该鸟类有两个品种，分别记为Ⅰ种和Ⅱ种由于中每个样点记录的该鸟数量较少，统计人员重新在区域随机捕获了只该鸟，再将捕获的鸟全部放回，作为一次试验结果记第次试验中Ⅰ种的数目为随机变量设该区域中Ⅰ种的数目为，Ⅱ种的数目为．
(ⅰ)求在第次试验中随机变量的分布列
(ⅱ)假设每一次试验均相互独立统计人员完成所有试验后，得到的实际取值分别为，其平均值，方差记随机变量采用和分别代替期望和方差，试给出，的估计值结果保留整数．
参考公式：从含件次品的件产品中，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件，设抽取的件产品中次品数为，如果采取有放回抽样，则方差如果采取不放回抽样，则方差为．
随机变量与满足．
若随机变量与相互独立，则．
19.本小题分
已知数列，对于任意的，，，当，总有恒成立，则称数列为凸数列．
以下两个数列中，哪一个是凸数列写出序号即可，无需说明理由
，，，，
，，
若数列为凸数列，证明：
已知个实数，，，满足，若这个实数，，，依次构成的数列为凸数列，求最小的，使得对所有的，都有．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：函数定义域为，求导得，
由，得或由，得且
函数的单调递增区间是，，单调递减区间是，
函数的极大值为，函数的极小值为．
大致图象如图．

16.【答案】解：联立方程组，
得，
所以，且，
故．
因此，双曲线的离心率为．
由知双曲线的两条渐近线方程为和，两条渐近线互相垂直，
所以四边形为矩形．
设，有，则，
所以四边形周长为，
当，即时等号成立．
故四边形周长的最小值为．
17.【答案】解：取线段的中点，连接，，
则，，
故FH，，
故四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
故平面．
连接，因为是圆的直径，所以，过点作圆柱的母线，则平面，
所以，，互相垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设，，则，
则，，，，
所以，．
设为平面的法向量，
所以，
令，解得，
所以为平面的一个法向量．
易知为平面的一个法向量．
因为二面角的正弦值为，
则余弦值绝对值为，
所以，，
化简得，
又，解得，则．

18.【答案】解：由表计算知，
则区域内该鸟类的总数量为：只．
依题意，均服从完全相同的超几何分布，
故的分布列为为整数，且；
由题可知，
则，方差，
所以．
依题意有，解得，．
19.【答案】解：
当，或时，显然成立
当，且时，
，
因为对于任意的，，，当，总有恒成立，
当，时成立．
由知，成立，
故
对固定的，其中且，
当时，
当时，，
所以，
，
得，，
由得，
，，
当，时显然成立，所以．
构造数列，，，，
满足且使得．
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