九师联盟2025届高三1月质量检测数学试卷（含答案）

九师联盟2025届高三1月质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则的非空子集的个数为( )
A. B. C. D.
2.已知其中为虚数单位是关于的方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
3.某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，即确定一户居民月均用水量标准，用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费通过抽样获得了户居民的月均用水数据单位：，制成如下频率分布表．
分组
频率
如果以居民月均用水量不超过的占，大于的占为标准，根据频率分布表估计，下列最接近的数是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知矩形的长为，宽为，将沿对角线翻折，得到三棱锥，则三棱锥的外接球的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知递减的等比数列满足：，，，若，则数列的前项和( )
A. B. C. D.
7.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现了到两定点距离之积为定值的点的轨迹是一条曲线，我们称该曲线为卡西尼卵形线已知两定点，，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列结论不正确的是( )
A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.
C. 的面积大于 D.
8.已知集合，定义在上的函数满足：，，，当时，
，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列为假命题的是( )
A. 若，，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
10.设函数，则( )
A. 的极大值为 B. 在上单调递增
C. 当时， D. 的解集为
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，过点且斜率为的直线交于点，交的一条渐近线于点，则( )
A. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为
B. 若以为直径的圆经过点，则的离心率为
C. 若，则的渐近线方程为
D. 若点不在圆外，则的渐近线的斜率的绝对值不大于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的常数项为 用数字作答
13.函数的零点个数为 ．
14.如图，在平行四边形中，，分别为，的中点，为上一点，且，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求
若的角平分线与交于点，，，求．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，为等边三角形，．
求证：平面平面
设为棱上一点，，四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
求的单调区间
若，，求整数的最大值．
18.本小题分
已知为抛物线的焦点，过的直线与交于，两点，当线段的长为时，弦的中点到轴的距离是．
求的方程
已知为上一点，的准线交轴于点．
若位于第一象限，且，求证：与相切
若异于坐标原点，是的内心，求面积的最大值．
19.本小题分
近年来，数学标准化测试中出现了一种新题型：多项选择题该类型题目是在，，，这个选项中仅有两个或三个为正确选项题目得分规则为：全部选对的得分，部分选对得部分分有两个选项正确的每个正确选项得分，有三个选项正确的，每个正确选项得分，有选错的得分．
某考生有一道正确答案为的多项选择题不会做，他给出的答案可以只含一个选项，只含两个选项或只含三个选项，记该考生本题得分为，求的分布列和数学期望
若某次测试共道多项选择题，已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为正确选项相互独立记事件为正确选项有个，第且题正确选项为个的概率为正确选项设计如下：第一题正确选项为两个的概率为，若第题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为第题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为．
证明：为等比数列，并求出
若第题只选择，两个选项，设表示第题的得分，证明：．
参考答案
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15.解：由题意得：，由正弦定理以及二倍角公式得：
，
，，，，
，．
，又，所以．
由余弦定理可得：，
即．
所以．
16.解：证明：因为 平分 ，且 ， ，又 ，
所以 ，所以 ，又
所以 ，所以 ， ，
所以 ，
因为 为正三角形，所以 ．
在 中， ，
所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以平面 平面 ．
设点 到平面 的距离为 ，
则 ，
解得 ，
如图，取 的中点 ，连接 ，
则 ，且 ，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，
所以 为等边三角形，
所以 ，且 ．
故可以 为原点 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，

则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，
令 ，则 ，
故 为平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，
令 ，则 ，
所以 为平面 的一个法向量，
所以 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 ．

17.解：由题意得的定义域为，且，
当时，恒成立，在上单调递增
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
由题意知，即对恒成立．
令，，问题转化为，恒成立，
，
当时，对恒成立，故在上单调递增，，与，矛盾，
故不满足题意
当时，因为，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，整理得．
设，，则，所以在上单调递增，
又，，因为，，
由零点存在定理及在上单调递增，知在上存在唯一零点，
当时，当时，，又因为，所以，又，
所以的最大值为．
18.解：设点，的横坐标分别为，，由的中点到轴的距离是，得，即，
由抛物线的弦过其焦点，得，解得，
所以的方程为．
证明：设点，由知，所以的准线方程为，所以，
由，得，化简，得，
又，所以，即，所以，
所以，所以直线的斜率，所以直线的方程为，由
得，即，所以，所以与相切．
解：由知，，故的面积，
设的内切圆半径为，则，，，
所以，
所以，
因为是上一点不同于坐标原点，所以，，
所以．
构造函数，则，
显然在上单调递增，令，解得．
所以当时，，单调递减当时，，单调递增．
所以当时，取得最小值，其最小值为，所以，
即面积的最大值为．
19.解：该考生可能的选项有：，，，，，，，，，，，，，，共个样本点，
故考生得分包含的样本点有，，，，，，，共个
得分包含的样本点有，，，共个
得分包含的样本点有，，共个
得分包含的样本点有，
所以，，
，，
故的分布列为
所以．
证明：由题意知
，
所以，
又，所以，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，
所以．，
由知，，
由题意知的取值为，，，
所以
，
，
，
所以，
因为，所以，
因为，
所以数列单调递增，
所以，
所以．
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