陕西省西安市临潼区2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

陕西省西安市临潼区 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列1， 3，5， 7，9，…，则该数列的第211项为( )
A. 421 B. 421 C. 423 D. 423
2.已知 ( 3,0)， (3,0)，| | | | = 4，则动点 的轨迹是( )
A. 一条射线 B. 双曲线右支 C. 双曲线 D. 双曲线左支

3.已知数列{ }满足 = sin( + )，其前 项和为 ，则 2 6 2025 =( )
√ 3 1 √ 3 1
A. B. C. D.
2 2 2 2
4.已知数列{ }为递增的等差数列，若 3 + 12 = 13， 5 10 = 36，则{ }的公差为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5.已知空间向量 = (2, 1,3)， = (2,0, 1)，则向量 在向量 上的投影向量是( )
1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 3
A. ( , , ) B. ( , , ) C. ( , , ) D. ( , , )
7 14 14 3 6 2 7 14 14 3 6 2
6.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等
差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层
多4个，以此类推，记第 层货物的个数为 ，则 19 =( )
A. 210 B. 209 C. 211 D. 207
1
7.记等比数列{ }的前 项和为 ，若
4 = ，则 12 =( )
8 7 8
43
A. 7 B. 49 C. D. 43
7
8.设数列{ }的前 项和为 ，若 = 2 +
2 4 + 2，且 ， 的等差中项为11( , ∈
)，则 + =( )
A. 4 B. 8 C. 10 D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列{ }的公差 ≠ 0，等比数列{ }的公比 ≠ 1，则下列选项正确的是( )
A. 若 > 0，则{ }单调递增 B. 若 > 1，则{ }单调递增
C. { 2 }可能为等差数列 D. {| | + 1}可能为等比数列
10.已知点( , 3)在圆 ： 2 + 2 4 4 + 6 = 0的外部，则 的值可能为( )
A. 0 B. 4 C. 2 D. 1
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11.如图，在空间直角坐标系 中，正方体 1 1 1 1的棱长为3，
且
1
= 1，则( ) 3
A. = (1, 2,1)
1 1 2B. = +
3 3 3 1
√ 6
C. 异面直线 与 所成角的余弦值为
6
3√ 2
D. 点 到直线 的距离为
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若直线 1： + = 0与直线 2： + (2 ) + 6 = 0平行，则 = ______．
+1
13.若数列{ }满足 1 = 9,

+1 = ，则 2024 = ______． 1
14.如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面4 ，水面宽6 ，
水面下降2 后，水面宽度为______ .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2 2
当 为何值时，方程 + = 1表示下列曲线：
11 2 1
(1)圆；
(2)椭圆；
(3)双曲线．
16.(本小题15分)
设数列{ }的前 项和为 ， 1 = 2， +1 4 = 0．
(1)求数列{ }的通项公式；
1
(2)若 = ，求数列{ }的前 项和 ． 2 2 +1
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17.(本小题15分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 = 1 ， 1 1 = 1 1， 1 1 ⊥平面 1 1， 1 ⊥ 1B.
(1)证明： 1 ⊥ 1．
(2)求平面 1 与平面 1 1 夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
2 2
已知直线2 + 3 6 = 0经过椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右顶点 和上顶点 ．
(1)求椭圆 的标准方程及离心率；
(2)与直线 平行的直线 交 于 ， 两点( , 均不与 的顶点重合)，设直线 ， 的斜率分别为 1， 2，
证明： 1 2为定值．
19.(本小题17分)
对于数列{ }，称{ }为数列{ }的一阶差分数列，其中 = +1

( ∈ ).对于正整数 ( ≥ 2)，
称{ }为数列{ }的 阶差分数列，其中 = ( 1 ) = 1
1
+1 .已知数列{ }满足 1 =
0， 22 = 1， = 1，数列{ }满足 1 = 1，
2 + + 2 = +1．
(1)求数列{ }，{ }的通项公式；

(2)若数列{ }的前 项和为

，证明： < 1．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】1
4
13.【答案】
5
14.【答案】3√ 6
2 2
15.【答案】解：(1)因为方程 + = 1表示圆，
11 2 1
所以11 = 2 1 > 0，解得 = 4；
2 2
(2)因为方程 + = 1表示椭圆，
11 2 1
11 > 0
1
所以{2 1 > 0 ，解得 < < 11且 ≠ 4，
2
11 ≠ 2 1
1
所以 的范围为( , 4) ∪ (4,11)；
2
2 2
(3)因为方程 + = 1表示双曲线，
11 2 1
1
所以(11 )(2 1) < 0，解得 > 11或 < ，
2
1
所以 的范围为( ∞, ) ∪ (11,+∞)．
2
16.【答案】解：(1)因为 1 = 2， +1 4 = 0，
所以数列{ }是以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以 1 2 1 = 2 × 4 = 2 ；
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1 1 1 1 1
(2) = = = ( )， 2 2 +1 (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
1 1 1 1 1 1
则数列{ }的前 项和 = (1 + + + ) 2 3 3 5 2 1 2 +1
1 1
= (1 ) = ．
2 2 +1 2 +1
17.【答案】解：(1)证明：因为 1 1 ⊥平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 1 1 ⊥ 1 ，
又因为 1 ⊥ 1 ， 1 1 ∩ 1 = 1， 1 1， 1 平面 1 1 ，
所以 1 ⊥平面 1 1 ，
又因为 1 平面 1 1 ，所以 1 ⊥ 1；
(2)由(1)知， 1 ⊥平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，所以 1 ⊥ 1 ，
以 1为原点，以 1 ， 1 ， 1 1所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
设 1 = 1 = 2，则 1 1 = 1 1 = 2√ 2，
1(0,0,0)， (2,0,0), (0,2,0), 1(0,0,2√ 2), (2,0,2√ 2)，
所以 1 = (2,0,2√ 2), 1 = (0,2,0), 1 = (2,0,0), = (2, 2,2√ 2)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，则 ⊥ 1 ， ⊥ 1 ，
1 = 0 2 = 0所以{ { = √ 2, = 0, = 1，
1 = 0 2 + 2√ 2 = 0
所以平面 1 的一个法向量为 = (√ 2, 0, 1)，
设平面 1 1 的法向量为 = ( , , )，则 ⊥ ， ⊥ 1 ，
1 = 0 2 = 0所以{ { = 0, = √ 2, = 1，
= 0 2 2 + 2√ 2 = 0
所以平面 1 1 的一个法向量为 = (0, √ 2, 1)，
设平面 1 与平面 1 1 夹角为 ，
|√ 2×0+0×√ 2 1×1| 1
则 = |cos < , > | = | | = = ．
| || | √ 3×√ 3 3
18.【答案】解：(1)因为直线2 + 3 6 = 0经过椭圆 的右顶点 和上顶点 ，
所以 = 3， = 2，
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2 2
则椭圆 的标准方程为 + = 1，
9 4
因为 = √ 2 2 = √ 5，
√ 5
所以椭圆 的离心率为 = ；
3
2
(2)证明：由(1)知直线 的斜率为 ，
3
2
设直线 的方程为 = + ， ( 1, 1)， ( 3 2
, 2)，
2
= +
3
联立{ ，消去 并整理得8 2 12 + 9 2 36 = 0，
2 2
+ = 1
9 4
3
由韦达定理得 1 + 2 = ， 2
2
因为 11 = ， =
2 ，
1 3
2 2
2 2
所以 = 1 2 = 1 2 11 2 ， 1 3 2 1 2 3 2
2 2 2 2 4 4
因为 2 2 1 = ( 1 + )( 2 + ) 2(
2
3 3 3 1
+ ) = ( + ) + 2 +
3 1 2 9 1 3 1
，
2
又 = ( 1 + 2)， 3
4
所以 1 2 2 1 = ( 1 2 3 2)， 9
4
所以 1 2 = ． 9
故 1 2为定值．
19.【答案】解：(1)数列{ }满足 = 0， = 1， 2 1 2 = 1，可得 +1 = 1，且 1 = 2 1 = 1，
即有 = 1 + 1 = ，即 +1 = ，
1
则 = 1 + ( 2 1)+. . . +( 1) = 0 + 1+. . . +( 1) = ( 1)，对 = 1也成立； 2
数列{ }满足 1 = 1，
2 + + 2 = +1，即为 +1 + + 2 = +1，
1可得 + 2 = = +1 ，即 = 2 + 2
，即 +1 +1 +1 =

+ ，
2 2 2

则
1 1
= + ( 1) = ，即有 = 2 1； 2 2 2 2
1
(2)证明： = ( 1) ( ) ，
2
1 1 1
则 = 0 + 1 +. . . +( 1) ( )
，
2 4 2
1 1 1 1
= 0 + 1 +. . . +( 1) ( )
+1，
2 4 8 2
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1 1 1 1 1
两式相减可得 = 0 + + +. . . +( )
( 1) ( ) +1
2 4 8 2 2
1 1
(1 1)4 2 1 1 1= 1 ( 1) ( )
+1 = ( + 1) ( ) +1，
1 2 2 2
2
1
化为 = 1 ( + 1) ( )
，
2
1
由( + 1) ( ) +1 > 0，可得 < 1． 2
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