广东省汕头市澄海区2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

广东省汕头市澄海区 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < < 2}， = { 1,0,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1} B. { 1,0,1,2} C. { 1,0} D. {0,1}
2.若 3 = 3 + ，则| | =( )
A. 3 B. √ 13 C. 5 D. √ 10
3.等轴双曲线 的中心在原点，且一个焦点为( 2,0)，则它的实轴长为( )
A. √ 2 B. 2 C. 4 D. 2√ 2
4.已知直线 的一个方向向量为 = (2,1, 4)，平面 的一个法向量为 = (3,2, )，若 // ，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
, ≥ 1
5.已知 ( ) = { ，则 ( ) < 1的解集为( ) , < 1
A. ( ∞, 0) ∪ [1， ) B. ( ∞, 0) ∪ [1，+∞)
C. (0, ) D. (0,1)
2
6.已知双曲线 2
2 = 1( > 0)的渐近线与圆( 2)2 + 2 = 1相切，则 的值是( )

√ 3
A. √ 3 B. C. 1 D. √ 5
3
7.已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于1，点 ， 分别是 ， 的中点，则 的值为
( )
1 1 √ 3
A. 1 B. C. D.
2 4 4
2 2 √ 3
8.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)上存在两点 ， 关于直线 1 = 0对称.若椭圆离心率为 ，则 3
的中点坐标为( )
A. (5,4) B. (4,3) C. (3,2) D. (2,1)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中四点 (0,1,0)， (2,2,0)， ( 1,3,1)， (1,1,1)，则( )
A. | | = 3 B. ⊥ C. // D. , 为锐角
10.已知圆 ： 21 + ( 1)
2 = 4，点 (2,0)，下列说法正确的是( )
A. 点 在圆外
B. 点 (2,0)是直线2 + 4 = 0上的定点
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C. 已知点 (1,0)，则过点 作圆的最短弦长为2√ 2
D. 过点 作圆 ： 21 + ( 1)
2 = 4的切线 ，则 的方程为3 4 6 = 0
11.如图，已知正方体 1 1 1 1棱长为2，点 为 1的中点，点 为底
面 1 1 1 1上的动点，则( )
A. 在 方向上的投影向量的长度为2
B. 满足 //平面 1的点 的轨迹长度为√ 2
√ 2
C. 满足 ⊥ 的点 的轨迹长度为
2
2√ 6
D. 以点 为球心，√ 2为半径的球面与面 1 的交线长为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1 1
12.若 = ，tan( + ) = ，则 = ______．
4 3
13.写出一个与直线 1： = 4， 2： = 2， 3： = 2都相切的圆的标准方程______．
14.已知抛物线 ： 2 = 4 ，则 的焦点坐标为______；若过 上一动点 作圆 ：( 4)2 + 2 = 2( > 0)
的两条切线，切点分别为 ， ，若四边形 面积的最小值是3√ 3，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
直线 经过两直线 1：3 + 4 6 = 0和 2：2 + + 1 = 0的交点．
(1)若直线 与直线3 + 1 = 0平行，求直线 的方程；
(2)若直线 与直线 2垂直，求直线 与坐标轴围成的三角形周长．
16.(本小题15分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是
文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所
有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：
[40,50)，[50,60)，…，[90,100]得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值及样本成绩的第75百分位数；
(2)求样本成绩的众数和平均数；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并

后的平均数 和方差 2．
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17.(本小题15分)
如图，四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形，侧面 是正三角形，侧面 ⊥面 ，
是 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
√ 3
△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 + = ．
3
(1)求角 ；
(2)若 = 4 ，△ 的面积为4√ 3，求cos(2 + )．
19.(本小题17分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)过点(2,3)，一条渐近线方程为√ 3 = 0．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若点 为双曲线左支上一点， ( , 0)( > 0)，求| |的最小值；
1 1
(3)过点 (2,0)的直线与双曲线 的右支交于 ， 两点，求证： + 为定值．
| | | |
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
13
13.【答案】( + 1)2 + ( + 1)2 = 9或( + 1)2 + ( 5)2 = 9
14.【答案】(1,0) √ 3
2 + + 1 = 0 = 2
15.【答案】解：(1)由题意联立{ ，解得{ ，
3 + 4 6 = 0 = 3
即直线 过点( 2,3)，
设与直线3 + 1 = 0平行的直线 的方程为3 + + = 0， ≠ 1，
将点( 2,3)代入可得3 × ( 2) + 3 + = 0，解得 = 3，
所以直线 的方程为：3 + + 3 = 0；
(2)由直线 2：2 + + 1 = 0，由题意设直线 的方程为 2 + = 0，
将点( 2,3)代入可得： 2 2 × 3 + = 0，可得 = 8，
即直线 的方程为 2 + 8 = 0，
令 = 0，可得 = 4，令 = 0，可得 = 8，
即直线 在 ， 轴上的交点分别为( 8,0)，(0,4)，
所以| | = √ 64 + 16 = 4√ 5，又| | = 8，| | = 4，
所以直线 与坐标轴围成的三角形周长为| | + | | + | | = 8 + 4 + 4√ 5 = 12 + 4√ 5．
16.【答案】解：(1)根据题意可得：0.05 + 0.1 + 0.2 + 10 + 0.25 + 0.1 = 1，解得 = 0.030；
因为前四组的频率和为0.05 + 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.65，
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前五组的频率和为0.05 + 0.1 + 0.2 + 0.3 + 0.25 = 0.9，
显然第75百分位数在(80,90)内，
0.75 0.65
所以第75百分位数为80 + = 84；
0.025
70+80
(2)由 = 75，得样本成绩的众数为75；
2
成绩落在[40,70)内的频率为0.05 + 0.1 + 0.2 = 0.35，
成绩落在[40,80)内的频率为0.05 + 0.1 + 0.2 + 0.3 = 0.65，
0.5 0.35
故中位数在[70,80)内，由70 + × 10 = 75，得样本成绩的中位数为75，
0.65 0.35
由45 × 0.05 + 55 × 0.1 + 65 × 0.2 + 75 × 0.3 + 85 × 0.25 + 95 × 0.1 = 74．
得样本成绩的平均数为74；
(3)由频率分布直方图知，成绩在[50,60)的市民人数为100 × 0.1 = 10，
成绩在[60,70)的市民人数为100 × 0.2 = 20，
54×10+66×20
所以 = = 62，
30
1
总方差为 2 = {10 × [7 + (54 62)2] + 20 × [4 + (66 62)2]} = 37．
10+20
17.【答案】解：(1)证明：由平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
底面 是边长为2的正方形，则 ⊥ ， 平面 ，
可知 ⊥面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，因为△ 为正三角形， 为中点，可得 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)取 的中点为 ，连接 ，侧面 是正三角形，则 ⊥ ，
平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
可知 ⊥平面 ，
设 中点为 ，连接 ，以 为坐标原点，以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图空间直角坐
标系，
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则 ( 1,0,0)， 1 √ 3 (0,0,√ 3)， ( 1,2,0)， ( , 0, )，
2 2
3 √ 3 = (0,2,0)， = (1,0, √ 3)， = ( , 2, )
2 2
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 = 0
则{ ，
= + √ 3 = 0
取 = 1，则 = (√ 3, 0, 1)，
设 与平面 所成角为 ，
|
| 2√ 3 √ 21
= |cos , | = = =
| || | √ 3 2 2 √ 3 2 7
，
2 ( ) +( 2) +( )
2 2
√ 21故 B 与平面 所成角的正弦值为 ．
7
√ 3
18.【答案】解：(1)因为 + = ，
3
√ 3
所以 + = ，
3
√ 3
所以sin( + ) = ，
3
因为 + + = ，所以sin( + ) = ，
√ 3
所以 = ，
3
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
所以 = √ 3，

因为 ∈ (0, )，所以 = ；
3
1
(2)因为 = 4√ 3，所以 = 16，
2
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又 = 4 ，所以 = 2， = 8，
1
所以 2 = 2 + 2 2 = 4 + 64 2 × 2 × 8 × = 52，
2
所以 = 2√ 13，
2 2√ 13
由正弦定理 = ，可得 = ，
√ 3
2
√ 39
所以 = ，
26
因为 < ，所以 < ，
所以 = √ 1 sin2
7√ 13
= ，
26
7√ 3 23
所以 2 = 2 = ， 2 = 1 2 2 = ，
26 26
23 1 7√ 3 √ 3 1
所以cos(2 + ) = 2 2 = × × = ．
26 2 26 2 26
19.【答案】解：(1)因为双曲线 过点(2,3)，一条渐近线方程为√ 3 = 0，
4 9
2
2 = 1
所以{ ，

= √ 3

= 1
解得{ ，
= √ 3
2
则双曲线 的标准方程为 2 = 1；
3
(2)因为点 为双曲线左支上一点，
设 ( 0, 0)， 0 ≤ 1，
因为 ( , 0)( > 0)，
所以| | = √ ( 2 20 ) + 0 = √ ( )
2 + 3 2 2 20 0 3 = √ 4 0 2 0 + 3
3
= √ 4( )2 + 20 3， 4 4

因为 0 ≤ 1， > 0， 4
3
则| |最小值为√ 4( 1 )2 + 2 3 = + 1；
4 4
(3)证明：当过点 (2,0)的直线斜率不存在时，
直线方程为 = 2，
取 (2,3)， ( 2,3)，
1 1 1 1 2
此时 + = + = ；
| | | | 3 3 3
当过点 (2,0)的直线斜率存在时，
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设直线方程为 = ( 2)， ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1 > 2，1 < 2 < 2，
= ( 2)
联立{ 2 ，消去 并整理得(3 2) 2 + 4 2 4 2 3 = 0，
2 = 1
3
因为直线过双曲线的右焦点，
所以 > 0，
解得 > √ 3或 < √ 3，
2 2
4 4 3
由韦达定理得 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
3 3
1 1 1 1
所以 + = +
| | | |
√ 2 2 1+ | 1 2|
√ 1+ | 2 2|
2
1 1
√ ( + ) 4
= 2
1 1 2 1 2
=
2 2( 1+ 2) 1 2 4 2 2( 1+ 2) 1 √ √ 2 4 1+ 1+
2 2 16 4+4(4 2 4 2 4 3 +3)(3
2)
√ ( 2) 4 √ 1 3 3 2 1 (3
2)2
= 2 2 =
√ 2 4 4 3
9
2
1+ 2( 2) 4
√
2 1+ 23 3 3
6√
2
+1
1 2 √
2
(3 ) 1 6 +1 2
= 9 = = ． 9 3
√ 2 1+ 2 √
2
3 1+
1 1
综上所述， + 为定值．
| | | |
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