北师版九下数学2.2.5二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质【课件】（37张PPT）

(共37张PPT)
第二章 二次函数 2.2 第5课时
二次函数y=ax2+bx+c
的图象与性质
北师大版九年级下册数学课件
目录
目录
CONTENTS
CONTENTS
1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here
复习引入
y = a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
(h ,k)
(h ,k)
x = h
x = h
当 xh时，y随着x的增大而增大.
当xh时，y 随着 x 的增大而减小.
x=h 时,y最小=k
x=h 时,y最大=k
抛物线 y = a(x-h)2+k 可以看作是由抛物线 y=ax2 经过平移得到的.
顶点坐标 对称轴 最值
y = -2x2
y = -2x2-5
y = -2(x+2)2
y = -2(x+2)2-4
y = (x-4)2+3
y = -x2+2x
y = 3x2+x-6
(0 , 0 )
y轴
0
(0 ,-5)
y轴
-5
(-2 , 0)
直线 x=-2
0
(-2 ,-4)
直线 x=-2
-4
(4 , 3 )
直线 x=4
3






探究新知
第二部分
PART 02
your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here
合作探究
我们已经知道 y = a(x-h)2+k 的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？
问题1 怎样将 化成 y=a(x-h)2+k 的形式？
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质
配方可得
想一想：配方的方法及步骤是什么？
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示：配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
问题2 你能说出 的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线 x = 6,顶点坐标是（6，3）.
问题3 二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的？
答：平移方法 1：先向上平移 3 个单位，再向右平移 6 个单位得到的；
平移方法 2：先向右平移 6 个单位，再向上平移 3 个单位得到的.
问题4 如何用描点法画二次函数 的图象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
解：先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象
如右图.
O
问题5 结合二次函数 的图象，说出其增减性.
5
10
x
y
5
10
x=6
当 x＜6 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞6 时，y 随 x 的增大而增大.
试一试
你能用上面的方法讨论二次函数 y=2x2-8x+7 的图象和
性质吗？
O
因此，二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴是直线 x=2，顶点坐标为 (2,-1)，当 x＜2 时，y 随 x 的增大而减小，
当 x＞2时，y 随 x 的增大而增大.
解：
典例精析
例1 求二次函数 y=2x2-8x+7 图象的对称轴、顶点坐标和增减性.
y=ax +bx+c
因此，二次函数 y=ax2+bx+c图象的顶点坐标是：
对称轴是：直线
例2 求二次函数 y = ax2+bx+c 图象的对称轴、顶点坐标.
要点归纳
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象和性质
1.一般地，二次函数 y = ax2+bx+c 的可以通过配方化成
y =a(x -h)2+k 的形式，即
因此，抛物线 y = ax2+bx+c 的顶点坐标是
对称轴是直线
(1)
x
y
O
如果 a > 0，当x< 时，y 随 x 的增大而减小；当 x > 时，y 随 x 的增大而增大；当 x= 时，函数达到最小值，最小值为 .
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象和性质
(2)
x
y
O
如果 a < 0，当 x < 时，y 随 x 的增大而增大；当 x > 时，y随 x 的增大而减小；当 x = 时，函数值达到最大，最大值为 .
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象和性质
例3 已知二次函数 y = －x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是( )
A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1
解析：由题设可知，
当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，
∴抛物线 y =－x2＋2bx＋c 的对称轴应在直线 x=1 的左侧而抛物线 y = －x2＋2bx＋c 的对称轴 ，
即 b≤1，故选D .
D
填一填
顶点坐标 对称轴 最值
y = -x2+2x
y = -2x2-1
y = 9x2+6x-5
(1,1)
x=1
最大值1
(0,-1)
y 轴
最大值-1
最小值-6
( ,-6)
直线 x=
合作探究
问题1 一次函数 y = kx+b 的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k3x+b3
y=k2x+b2
k1 ___ 0
b1 ___ 0
k3 ___ 0
b3 ___ 0
＜
＞
＞
＜
k2 ___ 0
b2 ___ 0
＞
＞
二次函数的图象与系数的关系
x
y
O
问题2 二次函数 的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1 ___ 0
b1___ 0
c1___ 0
a2___ 0
b2___ 0
c2___ 0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在 y 轴左侧，
对称轴在 y 轴右侧，
x=0时，y=c.
x
y
O
a3___ 0
b3___ 0
c3___ 0
a4___ 0
b4___ 0
c4___ 0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是 y 轴，
对称轴在 y 轴右侧，
x =0时，y =c.
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象与 a、b、c 的关系
字母符号 图象的特征
a＞0 开口__________
a＜0 开口__________
b=0 对称轴为_____轴
a、b同号 对称轴在y轴的____侧
a、b异号 对称轴在y轴的____侧
c=0 经过原点
c＞0 与y轴交于_____半轴
c＜0 与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
要点归纳
例4 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
D
【解析】由图象开口向下可得a＜0，
由对称轴在 y 轴左侧可得b＜0，
由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0，
则abc＞0，故①正确；
由对称轴 x >－1可得 2a－b＜0，故②正确；
则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，
故④正确．
由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限
可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上 x＝1的点在第四象限得
a＋b＋c＜0，
由图象上 x＝－1的点在第二象限得
a－b＋c＞0，
巩固练习
第三部分
PART 03
your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here
练一练
二次函数 的图象如图，反比例函数 与正比例函数 在同一坐标系内的大致图象是（ ）
解析：由二次函数的图象得知a＜0，b＞0.故反比例函数的图象在二、四象限，
正比例函数的图象经过一、三象限.
故选 C.
C
1.已知二次函数 y = ax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如下表：
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
A. y轴 B. 直线 x=
C. 直线 x=2 D. 直线 x=
则该二次函数图象的对称轴为( )
D
2. 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴、顶点坐标和最值：
直线 x=3
直线 x=8
直线 x=1.25
直线 x= 0.5
最小值-5
最大值1
最小值
最大值
O
y
x
–1
–2
3
3.已知二次函数 y = ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b 同号；
（2）当 x = –1和 x = 3 时，函数值相等；
（3） 4a+b = 0；
（4）当 y = –2 时，x 的值只能取 0；
其中正确的是 .
直线x=1
（2）
4. 把抛物线 y＝x2＋bx＋c 的图象向右平移 3 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度，所得图象的解析式为
y＝x2－3x＋5，则(　　)
A．b＝3，c＝7 B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5 D．b＝－9，c＝21
A
解析：y＝x2－3x＋5 化为顶点式为 y＝(x－ )2＋ .
将 y＝(x－ )2＋ 向左平移 3 个单位长度，
再向上平移 2 个单位长度，
即为 y＝x2＋bx＋c.则 y＝x2＋bx＋c＝(x＋ )2＋ ，
化简后得 y＝x2＋3x＋7，
即b＝3，c＝7.故选A.
5. 如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 图象的一部分，x= -1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c= -9a；④若（-3，y1）,（ ，y2）是抛物线上两点，则 y1>y2.其中正确的是（ ）
A．①②③　　 B．①③④ C．①②④　 D．②③④
x
y
O
2
x= -1
B
6. 已知抛物线和直线l在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x= -1，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上的点，P3（x3，y3）是直线l上的点，且x3＜-1＜x1＜x2，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y3＜y1
C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
D
课堂小结
第四部分
PART 04
your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here
顶点：
对称轴：
y = ax2+bx+c（a ≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
第二章 二次函数 2.2 第5课时
二次函数y=ax2+bx+c
的图象与性质
北师大版九年级下册数学课件