山东省潍坊市安丘市青云学府2024-2025学年高二上学期期末数学模拟试卷（PDF版，含答案）

山东省潍坊市安丘市青云学府 2024-2025 学年高二上学期期末数学模
拟试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 经过两个定点 (1,0)， (4,√ 3)，则直线 倾斜角大小是( )
5
A. B. C. D.
6 3 4 6
2.抛物线 = 2 2的焦点坐标是( )
1 1 1 1
A. ( , 0) B. (0, ) C. (0, ) D. (0, )
2 2 4 8
3.若直线 1：2 +1 = 0与 2：( 1) 1 = 0平行，则 1与 2之间的距离为( )
√ 2 3√ 2 √ 2
A. √ 2 B. C. D.
2 4 4
4.若 ， 是异面直线，则下列结论一定正确的是( )
A. 存在与 ， 都平行的直线 B. 存在与 ， 都垂直的平面
C. 存在过 且与 垂直的平面 D. 存在过 且与 平行的平面
5.已知圆 1：( + 1)
2 + ( 1)2 = 1与圆 2：
2 + 2 4 +6 2 = 0外切，则 =( )
A. √ 3 B. ±√ 3 C. √ 29 D. ±√ 29
6.现有6个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选
择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有2人选择南昌的选法种数为( )
A. 420 B. 660 C. 720 D. 1200
1
7.(2 3 2)( 2)8的展开式的常数项为( )
√
A. 288 B. 312 C. 480 D. 736
2 2
8.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点分别为 1， 2，过 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于
点 ， .若点 是线段 1 的中点，且 1 ⊥ 2，则此双曲线的离心率等于( )
A. √ 3 B. 2 C. √ 5 D. √ 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则下列结论正确的有( )
A. 若 // ， // ，则 //
B. 若 // ， ⊥ ， ⊥ ，则 //
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C. 若 ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
D. 若 // ， // ， ， ，则 //
10.已知圆 ：( + 2)2 + 2 = 4，直线 ：( +1) + 2 1 + = 0( ∈ )，则( )
A. 直线 恒过定点( 1,1)
B. 当 = 0时，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于1
C. 直线 与圆 有两个交点
D. 圆 与圆 2 + 2 2 +8 + 8 = 0恰有三条公切线
11.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，其准线 与 轴交于点 ，过 上一点 作 的垂线，垂足为 ，若四边
形 为矩形，则( )
A. 准线 的方程为 = 1 B. 矩形 为正方形
C. 点 的坐标为(1,2) D. 点 到原点 的距离为√ 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.过点 (3,4)且与直线 ： 2 1 = 0垂直的直线的方程是______．
2
13.已知双曲线 经过点 (4,1)，且与 2 = 1具有相同的渐近线，则双曲线 的标准方程为______．
4
14.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 到其准线的距离为2，圆 ：( 1)2 + 2 = 1，过 的直线 与
抛物线 和圆 从上到下依次交于 ， ， ， 四点，则| | + 4| |的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(2 1) = 0 + 1 +
2 3
2 + 3 + +
( ∈ )，若(2 1) 的展开式中第4项与第8项的二项式
系数相等．
(1)求 的值；
(2)求 2的系数；
(3)求| 1|+ | 2| + | 3| + + | |的值．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中， // ， ⊥ ， ⊥ ．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)若 = 2 ， ， 分别为 ， 的中点，求证：平面 //平面 ．
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17.(本小题15分)
2 2 √ 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右顶点分别为 、 ，点 (1, )是 上一点，且直线 与直线 2
1
的斜率之积为 ．
4
(1)求 的方程及其长轴长；
(2)若圆 2 + 2 = 1的切线 与 交于 、 两点，求| |的最大值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 ⊥底面 ， = = 1， 是 的中点，作
⊥ 交 于点 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
√ 15
(2)若平面 与平面 的夹角的正弦值为 ，
5
( )求 长；
( )求直线 与平面 所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
2 2
已知圆 ： 2

+ 2 = 4与双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)只有两个交点，过圆 上一点 的切线 与双曲
线 交于 ， 两点，与 轴交于 点.当 与 重合时，| | = 4√ 5．
(1)求双曲线 的方程；
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4
(2)若直线 的斜率为 ，求| |；
3
4 | |
(3)当 ∈ [1, ]时，求 的最小值． 3 | |
第 4 页，共 10 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2 + 10 = 0
2 2
13.【答案】 = 1
12 3
14.【答案】4
15.【答案】解：(1)(2 1) 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则 3 = 7 ，解得 = 10，所以
= 10．
(2)由(1)知，(2 1)10的展开式中 2项为： 210(2 )
2( 1)8 = 180 2，所以 2 = 180．
(3)由(1)知，(2 1)10的展开式中，
当 = 0时， 0 = 1，
因为 0， 2， 4， 6， 8， 10 ∈ (0,+∞)， 1， 3， 5， 7， 9 ∈ ( ∞,0)，
所以| 0| + | 1| + | 2|+ | 3| + + | 10| = 0 1 + 2 3 + + 10，
当 = 1时， 0 1 + 2 3 + +
10 10
10 = ( 3) = 3 ，
所以| 101| + | 2| + | 3|+ + | | = 3 1．
16.【答案】证明：(1)因为 // ， ⊥ ，
所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，
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所以平面 ⊥平面 ．
(2)延长 交 于 ，
因为 ， 分别为 ， 中点，
所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为 // ，所以∠ = ∠ ，
又 为 中点，所以 = ，
因为∠ = ∠ ，
所以△ ≌△ ，所以 = ，
又 = 2 ，所以 为 中点，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 //平面 ．
√ 3 1
17.【答案】解：(1)因为点 (1, )是 上一点，且直线 与直线 的斜率之积为 ，
2 4
√ 3 √ 3
1
=
2 × 2 =
所以{ 1+ 1 4，
1 3
2 + 2 = 1 4
解得 = 2， = 1，
2
则椭圆 的方程为 + 2 = 1，其长轴长为4；
4
(2)当 ⊥ 轴时，
此时 ， 的横坐标为1或 1，
解得 √ 3 = ± ，
2
所以| | = √ 3；
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当 不垂直 轴时，
设切线 的方程为 = + ， ( 1 , 1)， ( 2, 2)，
| |
此时圆心到切线 的距离 = 1√ 2 ， 1+
即得 2 = 2 + 1，
= +
联立{ 2 ，消去 并整理得(4 2 + 1) 2 + 8 + 4 2 4 = 0，
+ 2 = 1
4
此时 = 64 2 2 4(4 2+ 1)(4 2 4) = 48 2 > 0，
解得 ≠ 0，
8 4 2 4
由韦达定理得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = 2 ， 4 +1 4 +1
2 2 4(4 2 4)
所以 64 | | = √ 1 + 2√ ( 1 + )
2
2 4 1 2 = √ 1 +
2√ 2 2 2
(4 +1) 4 +1
2 2 2 2 √ 2
16(1+ )(4 2+1) 48(1+ ) 4√ 3 +1
= √ 2 2 = √ 2 2 = 2 ，
(4 +1) (4 +1) 4 +1
设4 2 +1 = ， > 1，
2 2
2 3×4 ×4( +1) 3( 1)( +3) 2 3可得| | = 2 2 = = 3(1+ )
(4 +1) 2 2
1 2 1 1 1 4 4
= 3[ 3( 2 ) + 1] = 3[ 3( )
2 + ] ≤ 3× = 4，
3 3 3 3
所以| | ≤ 2．
综上所述，| |的最大值为2．
18.【答案】解：(1)证明：在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 ⊥底面 ，
= = 1， 是 的中点，作 ⊥ 交 于点 ，
以 为原点，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
建立空间直角坐标系，如图，
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1 1
设 = ，则 (0,0,1), (0, , ), ( , 0,0), ( , 1,0)．
2 2
1 1∵ = ( , 1, 1), = (0, , )，
2 2
∴
1 1
= 0+ = 0，∴ ⊥ ．
2 2
∵ ⊥ ，且 ∩ = ， ， 平面 ．
∴由线面垂直的判定定理得 ⊥平面 ．
(2)( )设平面 的法向量为 = ( , , )，∵ = (0,1, 1)，
= + = 0
∴ { ，令 = 1，得 = (0,1,1)，
= = 0
设平面 的法向量 = ( 1 , 1 , 1)，
= 1 + = 0∴ { 1 ，令 1 = 1，得 = (1, , 0)，
= 1 = 0
设平面 与平面 的夹角为 ，
∵平面 与平面 的夹角的正弦值为√ 15，
5

则 = |cos , | = 2 ， √ 2( +1)
√ 10
√ 15 √ 10
∴ = ，∴ = ，∴ =
√ 5
，
5 5 2( 2+1)
解得 = 2(舍去负值)，∴ 长为2．
( )由(1)知 ⊥ ，
∴由线面角定义得∠ 是直线 与平面 所成角的一个平面角，
在直角△ 中，由题意得 √ 2 √ 3cos∠ = = = ，
√ 6 3
又由题意得 △ ～ △ ，∴ ∠ 与∠ 互为余角，
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√ 3
∴ sin∠ = cos∠ = ，
3
∴直线 与平面 所成角的正弦值为√ 3．
3
2 2
19【. 答案】解：(1)根据圆 方程 2 + 2 = 4与双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)只有两个交点可知： = 2，
2
(2√ 5) 4
又因为双曲线过点(2√ 5, 2)，因此 2 = 1，解得
2 = 1，
4
2
因此 的标准方程为： 2 = 1．
4
(2)如图：
4 3
由于直线 的斜率为 ，且直线 与直线 垂直，因此直线 的斜率为 ，
3 4
3
设直线 的方程为： = + ，所以3 4 + 4 = 0，
4
|4 | 5
根据 = 2 | | =
√ 2 2 2
，
3 +( 4)
5 3 5
设 = ，那么 的方程为： = + ，
2 4 2
2 3 5
代入双曲线 2 = 1，可得： 2 4( + )2 = 4，
4 4 2
化简得：5 2 + 60 +116 = 0，
设 ( , ) ( , )
116
2 2 ， 1 1 ，根据韦达定理可得 1 2 = ， 5 1 + 2 = 12，
116 256
因此( 1
2 2
2) = ( 1 + 2) 4 1 2 = 144 4 × = ， 5 5
因此| | = √
3 5 16
1+ ( )2 | 1 2| = × = 4√ 5， 4 4 √ 5
5
如果 = ，也可得| | = 4√ 5，
2
综上所述：| | = 4√ 5．
| |
(3)设直线 的方程为 = + ，根据 = 2 2
√ 2
，可得| | = 2√ 1+ ，
1+
4 2√ 5 4
设 点在第二象限，由于 ∈ [1, ]，所以 的两个端点为( , )，( √ 3, 1)， 3 3 3
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所以 2√ 5 √ 3 ∈ [ , ]，由于 ⊥ ， 5 3
因此 √ 5 ∈ [ , √ 3]， = 2√ 1 + 2，
2
将 = + 2√ 1+ 2代入双曲线 2 4 2 = 4，可得： 2 4( + 2√ 1 + 2)2 = 4，
化简得：(1 4 2) 2 16 √ 1 + 2 16(1+ 2) 4 = 0，
2 √ 2
设 ( 2, 2)， ( , )，根据韦达定理可得
20+16
= ， 16 1+ 1 1 1 2 2
1 4 1 + =
，
2 2
1 4
由于 √ 5 ∈ [ , √ 3]，因此1 4 2 < 0，
2
√ 216 1+ 2
因此 20+16 80( 1 2)
2 = ( 1 + )
2
2 4 1 2 = ( 2 )
2 +4 × ， 2 = 2 2
1 4 1 4 (1 4 )
2
因此 4√ 5
√ 1+
| | = √ 1 + 2 | 1 2| =
，
2
4 1
又因为| | = 2√ 1 + 2，
√ 2 2
| | 2 1+ 4 1
因此 = =| | √ √ 2 2√ 5 ， 4 5 1+
2
4 1
√ 5 | | 4 2√ 5由于 ∈ [ , √ 3]，因此 ≥ = ，
2 | | 2√ 5 5
| | 2√ 5
所以 的最小值为 ．
| | 5
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