四川省泸州市泸州老窖天府中学2024-2025学年高二上学期期末测试数学试题（含答案）

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泸州市老窖天府中学2024-2025学年上期高二期末测试题
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．
3．全卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 135°
2. 若复数满足，则在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 若点，到直线的距离相等，则（）
A. 1 B. C. 1或 D. 或2
4. 正项等比数列中，，，则（）
A. B. 3 C. 6 D. 9
5. 如图，已知四面体的棱长都是2，点为棱的中点，则的值为（）
A. 1 B. C. D. 2
6. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是
A. 中位数 B. 平均数
C. 方差 D. 极差
7. 如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（）
A. B.
C. D.
8. 设是双曲线的左、右焦点，O是坐标原点，点P是C上异于实轴端点的任意一点，若则C的离心率为（）
A. B. C. 3 D. 2
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件，“点数小于5”记为事件，“点数大于5”记为事件.下列说法正确的是（）
A. 与互斥 B. 与对立
C. 与相互独立 D.
10. 设等差数列的公差为d，前n项和为，若，则下列结论正确的是（）
A. 数列是递增数列 B.
C. D. 数列中最大项为第6项
11. 设双曲线的左右顶点分别为，，左右焦点分别为，，为双曲线的一条渐近线，过作，垂足为，为双曲线在第一象限内一点，则（）
A.
B.
C. 若，则的面积为
D. 若平行于轴，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12已知直线：与直线：.若，则______.
13. 数列满足，则_______.
14. 已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M：，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2023年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利78周年纪念日，某市宣传部组织市民积极参加“学习党史”知识竞赛，并从所有参赛市民中随机抽取了50人，统计了他们的竞赛成绩，制成了如图所示的频率分布直方图．
（1）求出图中x的值：
（2）求这50位市民竞赛成绩的平均数和上四分位数：
（3）若成绩不低于80分的评为“优秀市民”，从这50名市民中的“优秀市民”中任选两名参加座谈会，求这两名市民至少有一人获得90分及以上的概率．
16. 在等比数列中，，公比，且，又与的等比中项为2.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求的前项和.
17. 已知圆心为的圆经过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程：
（2）已知直线过点且直线截圆所得的弦长为2，求直线的方程.
18. 在三棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.
（1）求证：平面；
（2）已知，且直线与平面的所成角的正弦值为时，求平面与平面所成夹角的余弦值.
19. 已知椭圆的离心率为．
（1）点P是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，A1（﹣a，0），A2（a，0），证明点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值；
（2）若椭圆的短轴长为2，动直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O在以AB为直径的圆上．
①判断是否存在定圆与直线l恒相切，若存在，求定圆的方程，若不存在，请说明理由；
②求三角形OAB的面积的取值范围．
泸州市老窖天府中学2024-2025学年上期高二期末测试题
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
【答案】D
2.
【答案】A
3.
【答案】C
4.
【答案】B
5.
【答案】B
6.
【答案】A
7.
【答案】C
8.
【答案】D
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.
【答案】AC
10.
【答案】BC
11.
【答案】BCD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12【答案】2
13.
【答案】.
14.
【答案】1
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.
【解】
【分析】（1）由频率分布直方图中小长方形的面积和为1列式求解；
（2）由频率分布直方图中平均数及百分位数的定义求解即可；
（3）写出该试验的样本空间，根据古典概型的概率公式求解即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知：，
.
【小问2详解】
由得：，
设市民竞赛成绩的上四分位数为a，
则，
，
【小问3详解】
由频率分布直方图可知：50名市民中有“优秀市民”12人，
其中8人成绩在不高于90分，记为，
有4人成绩在90分以上，记为．
从“优秀市民”中任选两名参加座谈会，用集合表示这个试验的一个样本点，
因此该试验的样本空间为，
其中，
事件 “两名市民至少有一人获得90分及以上”，则
，其中，
.
16.
【解】
【分析】（1）先根据题意结合等比数列的性质求出，进而可求出公比，即可得解；
（2）分和两种情况讨论，结合等差数列前项和公式即可得解.
【小问1详解】
因为，
所以，
又，所以，
因为与的等比中项为2，所以，
则，解得（舍去），
所以，所以（舍去）
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
令，则，
令，则，
当时，，
当时，
，
综上所述，.
17.
【解】
【分析】（1）先求线段垂直平分线的方程，与直线联立，得圆心坐标，再求圆的半径，可得圆的标准方程.
（2）分所求直线的斜率存在和不存在，利用弦长和点到直线的距离公式求直线方程.
【小问1详解】
的中点为
的垂直平分线方程为，即，
将联立可得，即圆的圆心坐标为.
圆的半径为，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故.
若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为3，符合题意.
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
所以，解得，则直线的方程为.
故直线的方程为或.
18.
【解】
【分析】（1）由题意首先证明平面，即，进一步由平面几何知识证明即可得证.
（2）建立适当的空间直角坐标系，首先由确定参数的值，进一步求出两平面的法向量，由夹角余弦公式即可得解.
【小问1详解】
∵，且是的中点，则.
∵平面，平面，∴.
又平面，∴平面，
因为平面，
∴.①
∵，
∴，则.
∵，∴，
∴在平面中.②
∵平面，
∴由①②知平面.
【小问2详解】
由题意得，平面，
∴平面.
由（1）可知，故为坐标原点.
如图，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.
∵，
∴，.
∴，，，
∵，
∴由棱台的性质得，
.
由（1）可知平面的一个法向量为，且.
直线与平面的所成角的正弦值为，
∴（），
即，解得.
∴平面一个法向量为，且.
平面的法向量为.
∵，，
，即，
当时，，.
∴平面的一个法向量为.
.
∴平面与平面所成夹角的余弦值.
19.
【解】
【分析】（1）设，由证得结论成立.
（2）①先求得椭圆方程，根据直线的斜率存在和不存在进行分类讨论，由列方程，由原点到直线的距离求得所求圆的方程.
②求得三角形面积的表达式，结合二次函数的性质求得面积的取值范围.
小问1详解】
设P（x0，y0），则，整理可得，
则，所以＝，
因为椭圆的离心率为，则，
所以，则，故点P与A1，A2连线的斜率的乘积为定值.
【小问2详解】
因为椭圆的短轴长为2，则b＝1，由（1）可知，a＝2，所以椭圆的方程为，因为坐标原点O在以AB为直径的圆上，所以OA⊥OB，
①假设存在定圆与直线l相切，由对称性可知定圆的圆心在坐标原点O，
当直线l的斜率不存在时，有对称性设A（t，t），则t2+4t2＝4，解得，此时坐标原点O到直线l的距离的平方为，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，消去y可得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，
则△＝16[（4k2+1）﹣m2]＞0，消去x可得，（4k2+1）y2﹣2my+m2﹣4k2＝0，
因为OA⊥OB，则，即5m2＝4（k2+1），此时，
坐标原点O到直线l：y＝kx+m的距离的平方为．
综上所述，存在定圆与直线l恒相切；
②当直线l的斜率不存在时，△OAB的面积，
当直线l的斜率存在时，△OAB的面积S＝＝＝，
令t＝4k2+1，t≥1，则S＝＝，所以．
综上所述，△OAB的面积的取值范围为.