内蒙古自治区赤峰市2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

内蒙古赤峰市 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 3 4 ≤ 0}， = { ∈ |2 > 0}，则 ∩ =( )
A. {3,4} B. {0,1} C. { 1,0,1} D. {2,3,4}
2.一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的第25百分位数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
3.平行直线 1：2 + 5 = 0与 2： + 5 = 0之间的距离为( )
A. √ 5 B. 2√ 5 C. 3√ 5 D. 5√ 5
4.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减
一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天
健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的
路程为( )
A. 6里 B. 5里 C. 4里 D. 3里
5.如图，空间四边形 中， = ，
2
= ， = ，点 在 上，且 = ，
3
点 为 中点，则 等于( )
1 1 1
A. +
2 2 2
2 1 1
B. + +
3 2 2
2 2 1
C. +
3 3 2
2 2 1
D. +
3 3 2
6.已知圆 1：( + 3)
2 + 2 = 81和 2：( 3)
2 + 2 = 1，若动圆 与这两圆一个内切一个外切，记该动圆
圆心的轨迹为 ，则 的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
16 7 25 9 25 16 16 9
7.过抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点 的直线 与抛物线 交于点 ， ，若 = 2 ，若直线 的斜率为 ，
则 =
( )
A. 2√ 2 B. 2√ 2 C. 2√ 2或 2√ 2 D. √ 2或 √ 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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8.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事件 =“取出的两球
同色”，事件 =“第一次取出的是白球”，事件 =“第二次取出的是白球”，事件 =“取出的两球不
同色”，则( )
1
A. ( ) = B. 与 互斥 C. 与 相互独立 D. 与 互为对立
2
2 2
9.已知曲线 ： + = 1，则( )
2 6
A. 当 < 2时，曲线 是椭圆
B. 当 = 3时，曲线 是以直线 = ±√ 3 为渐近线的双曲线
C. 存在实数 ，使得 过点(1,1)
D. 当 ∈ (2,6)时，直线 = 总与曲线 相交
10.已知圆 ： 2 + ( 1)2 = 5，直线 ： 2 8 = 0，点 在直线 上运动，直线 ， 分别切圆 于点
， .则下列说法正确的是( )
A. 四边形 的面积最小值为5√ 3
B. 为圆 上一动点，则 最小值为2√ 5
C. | |最短时，弦 直线方程为2 4 1 = 0
D. | |最短时，弦 长为√ 15
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1+
11.已知复数 = ，则 = ______．
1
12.已知空间向量 = (2, 2,1)， = (3,0,4)，向量 在向量 上的投影向量坐标为______．
13.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了
300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记 为图中虚线上的数1，
1 1 1 1
3，6，10，依次构成的数列的第 项，则 + + + + 的值为______．
1 2 3 100
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题13分)
已知△ 中角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， + √ 3 = 0．
(1)求 ；
(2)若 = √ 13，且△ 的面积为3√ 3，求△ 周长．
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15.(本小题15分)
在等差数列{ }中， 4 = 7， 3 + 2 8 = 35，数列{ }的前 项和为 ，且3 2 = 1．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；

(2)若 = ，求数列{ }的前 项和
．

16.(本小题15分)
某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了 位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家
制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在[70,80)中的市民有200人．
心理测评评价标准
调查评分 [0,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
心理等级
(1)求 的值及频率分布直方图中 的值；
(2)该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则
需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由. (每组的每
个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷ 100)
(3)在抽取的心理等级为 的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理
1
疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40,50)的市民的心理等级转为 的概率为 ，调查评分在
4
1
[50,60)的市民的心理等级转为 的概率为 ，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，
3
经心理疏导后恰有一人的心理等级转为 的概率；
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17.(本小题17分)
1
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， ⊥ ， // ， = = = 1， 为棱
2
的中点．
(1)证明： //平面 ；
(2)若 = √ 5， = 1，
( )求二面角 的余弦值；
2√ 6
( )在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离是 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明
9
理由．
18.(本小题17分)
2 2 2 2
“曲线 ”：由半椭圆 2 + 2 = 1( ≥ 0)与半椭圆 2 + 2 = 1( ≤ 0)组成，其中
2 = 2 + 2， > > > 0.

如图，设点 ， 1， 2是相应椭圆的焦点， 1， 2和 1， 2分别是“曲线 ”与 ， 轴的交点， 为线段 1 2
的中点．
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(1) △ √ 3若等边 1 2的重心坐标为( , 0)，求“曲线 ”的方程； 3
2 2
(2)设 是“曲线 ”的半椭圆 2 + 2 = 1( ≤ 0)上任意的一点.求证：当| |取得最小值时， 在点 1， 2或
1处；
(3)作垂直于 轴的直线与“曲线 ”交于两点 ， ，求线段 中点的轨迹方程．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】2
6 8
12.【答案】( , 0, )
5 5
200
13.【答案】
101
14.【答案】解：(1) ∵ + √ 3 = 0，
∴在△ 中，由正弦定理得 + √ 3 = 0，即 + √ 3
sin( + ) = 0，
∵ 0 < < ，∴ ≠ 0，
∴ √ 3 = 1，
1
∴ sin( ) = ，
6 2
5
又 ∈ (0, )，则 ∈ ( , )，
6 6 6

∴ = ，解得 = ；
6 6 3
(2) ∵ = √ 13，且△ 的面积为3√ 3，
1 √ 3
∴ △ = = = 3√ 3，解得 = 12， 2 4
又 2 = 2 + 2 2 = ( + )2 2 = 13，
∴ + = 7，
∴ + + = 7 + √ 13，
故△ 的周长为7 + √ 13．
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15.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
则由 4 = 7， 3 + 2 8 = 35可得： 1 + 3 = 7， 1 + 2 + 2( 1 + 7 ) = 35，
解得 1 = 1， = 2，
所以 = 1 + ( 1) = 1 + ( 1) × 2 = 2 1；
又因为3 2 = 1，
所以令 = 1得：3 1 2 1 = 1，即 1 = 1，
而当 ≥ 2时，3 1 2 1 = 1，
所以当 ≥ 2时，3 3 1 2 + 2 1 = 0，
即当 ≥ 2时， = 3 1，
所以数列{ }为等比数列且 = 3
1．
2 1
(2)因为 = = 3 1
，

1 3 5 2 1
所以 = 0 + + 2 + + 1， 3 3 3 3
1 1 3 5 2 1
所以 = + 2 + 3 + +3 3 ， 3 3 3
2 1 2 2 2 2 1
两式相减可得： = 0 + + 2 + + 1 ， 3 3 3 3 3 3
1 1
(1
2 3 1
)
2 1 2 +2
即 = 1 + 2 ×
3
3 1
= 2 ，
1 3 3

3
+1
所以 = 3
3 1
．
16.【答案】解：(1)易知调查评分在[70,80)中的市民有200人，
而评分在[70,80)中的频率为10 × 0.020 = 0.2，
200
所以 = = 1000，
0.2
而10( + 0.004 + 7 + 0.020 + 0.035 + 0.025) = 1，
解得 = 0.002；

(2)市民心理健康调查评分的平均值 = 10(45 × 0.002 + 55 × 0.004 + 65 × 0.014 + 75 × 0.020 + 85 ×
0.035 + 95 × 0.025) = 80.7，
80.7
则市民心理健康指数平均值为 = 0.807 > 0.75，
100
所以只需发放心理指导资料，不需要举办心理健康大讲堂；
(3)因为评分在[40,50)中的人数是评分在[50,60)中人数的一半，
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若通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导，
此时评分在[40,50)内的有1人，在[50,60)内的有2人，
记“在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为 ”为事件 ，
因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，
1 2 2 3 1 2 3 2 1 4
所以 ( ) = × × + × × + × × = ，
4 3 3 4 3 3 4 3 3 9
4
则在抽取的3人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为 的概率为 ．
9
17.【答案】(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，如图所示：
∵ 为棱 的中点，
1
∴ // ， = ，
2
1
∵ // ， = ，
2
∴ // ， = ，
∴四边形 是平行四边形，∴ // ，
又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(2)解：∵ = √ 5， = 1， = 2，
∴ 2 = 2 + 2，∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，∴ ⊥ ，又 ⊥ ，
∴以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图：
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则 (0,0,1)， (0,0,0)， (1,0,0)， (0,2,0)，
∵ 为棱 的中点，
1
∴ (0,1, )， (1,1,0)，
2
1
( ) = (0,1, )， = (1,1,0)
2
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
1
= + = 0
则{ 2 ，令 = 2，则 = 1， = 1，
= + = 0
∴ = (1, 1,2)，
平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
1 √ 6
∴ cos < ， >= = = ，
| || | 1×√ 6 6
∴ √ 6二面角 的余弦值为 ；
6
( )假设在线段 上存在点 ，使得点 到平面 的距离是2√ 6，
9
设 = ，0 < < 1，则 ( , 0,1 )， = ( 1, 1,1 )，
由( )知平面 的一个法向量为 = (1, 1,2)，
= 1 + 1 + 2(1 ) = 2 ，
2 2√ 6
∵点 到平面 的距离是 = = ，
| | √ 6 9
2 2√ 2
∴ = ，∴ = ．
3 3
√ 3
18.【答案】解：(1)因为等边△ 1 2的重心坐标为( , 0)， 3
所以| | = √ 3 = √ 2 2 = ．
2 2
在半椭圆
2
+ 2 = 1( ≤ 0)中，

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由| | = | | = √ 2 2

1 2 = | |tan = 1， 6
可得 2 = 4， 2 = 7，
2 2 2 2
因此“曲线 ”的方程为 + = 1( < 0)， + = 1( ≥ 0)．
3 4 7 4
2 2
2 ( )(2)证明：设 ( , )，则| | = ( )2 + 2 = (1 22) ( ) + +
2， ≤ ≤ 0．
2 4
2

因为1 2 < 0，开口向下，

对称轴为： = 2 < 0，

2(1 2)
所以当 = 0或 = 时，
| |取得最小值时，即 在点 1， 2或 1处．
(3)由题可知，直线 的斜率 = 0，则设直线 = ， < < ，
2 2
设 在 2 + 2 = 1( ≥ 0)上，
=
= √ 2 2
当 ≥ 0时，{ 2 2 ，解得{ ，所以 ( √ 2 2, )．
2 + 2 = 1 =


2 2
设 在半椭圆
2
+ 2 = 1( ≤ 0)上，

=

当 < < ， < 0时，{ 2 2 ( √ 2 2, )．
2 + 2 = 1

= √ 2 2
的中点为( , ), { 2 ，
=
2 2
即线段 中点的轨迹方程为： 2 + 2 = 1( > 0)．
( )
2
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