四川省泸州市2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

四川省泸州市 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {( , )|2 = 0}， = {( , )|3 + = 0}，则 ∩ =( )
A. (0,0) B. {(0,0)} C. {0} D. 0
2.下列函数是奇函数且在(0, +∞)上单调递增的是( )
1
A. = B. = C. = D. = 3

3.函数 ( ) = 2 + 的零点所在的区间为( )
A. ( 2, 1) B. ( 1,0) C. (0,1) D. (1,2)
4.“ > ”是“ > ”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

5.函数 ( ) = | | ( < < )取得最小值时， =( )
2 2

A. B. C. 0 D.
3 4 4
6.函数 ( ) = 与 ( ) = 的图象在区间[0,3 ]上的交点个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视
力数据，五分记录法的数据 和小数记录法的数据 间的关系为 = 5 + .已知五分记录法的评判范围为
[4.0,5.2]，设 = 1.4，五分记录法中，最大值对应的小数记录法数据为 ，最小值对应的小数记录法数据

为 ，则 的值为( )

+10 20 2+100
A. B. C. √ D. √ 10
2 10+ 2
( ) ( )
8.已知函数 ( )为 上的偶函数，对任意 1 21， 2 ∈ (0, +∞)，均有 < 0成立，若 = (√ 2), = 1 2
1 1
( 2 ), = ( 3)，则 ， ， 的大小关系为( ) 4
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = | |，则( )

A. ( )的最大值为1 B. ( )在( , 0)上是增函数
2
C. 为 ( )的一个周期 D. ( )在[0,2 ]上有两个零点
第 1 页，共 7 页
10.已知 > 0， > 0，若 + 2 = 1，则( )
1 1
A. 的取值范围是(0, ) B. 的最大值为
2 8
1 2 1
C. 的最大值为1 2√ 2 D. + 的最小值为8

11.定义在 上的函数 ( )，对任意 1， 2 ∈ ，都有 ( 1 + 2) = ( 1) + ( 2) + 1，且当 > 0时， ( ) >
(0)恒成立，下列说法正确的是( )

A. (0) = 1 B. ( ) = 4 ( ) + 4
4
C. 函数 ( )的图象是中心对称图形 D. 函数 ( )为 上的增函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.计算4√(4 )4 + 2 2 = ______．
1
13.从四个函数 = ， = , = 2， = 中选出两个函数，分别记为 ( )和 ( )，

若 ( ) = ( ) + ( )的图象如图所示，则 ( ) = ______．
1
14.设函数 ( ) = ( + )ln( + 1)，若 ( ) > 0，则实数 的最大值为______．

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | = + 2}， = { | 1 < < 3 + 1}．
(1)当 = 3时，设全集 = ∪ ，求 ；
(2)若 ∩ = ，求 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 + ．
(1)若 ( )无零点，求实数 的取值范围；
(2)解关于 的不等式 ( ) > ．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系 中，角 的顶点与坐标原点 重合，始边为 轴的非负半轴，终边与圆心为 的单位圆
1
交于点 ， 位于第一象限，且 = ．
5
第 2 页，共 7 页
(1)求点 的坐标；
3
sin( + )+
(2)将 的终边绕原点 逆时针旋转 得到的角记为 ，求 2 的值．
2 ( )+sin tan
18.(本小题17分)
把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为 1℃，空气的温度为 0℃，那么 后物体的温度 (单位：
℃)可由公式 = + ( ) 0 1 0 求得，其中 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气
的温度为20℃，把水放在空气中冷却，水的温度从100℃冷却到60℃需要30 ．
(1)求 ；
(2)小王想喝40℃的温水，发现水的温度为100℃，如果他等待水温自然冷却，至少需要等待多少 ？
(3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于35℃，电热水壶不加热，水的温度冷却到35℃，电
热水壶开始加热，直至水的温度达到80℃才停止加热，且水的温度从35℃加热到80℃需要8 .现该电热水
壶中水的温度为80℃，经过98 后，此时壶中水的温度是多少？
19.(本小题17分)
若函数 ( )满足条件：在定义域内存在 0，使得 ( 0 + ) = ( 0) + ( )成立，则称 ( )具有性质 ( )；
反之，若 0不存在，则称 ( )不具有性质 ( )．
1
(1)判断函数 ( ) = 是否具有性质 (1)，若具有性质 (1)，求出对应 0的值；若不具有性质 (1)，说明
理由；

(2)证明函数 ( ) = 2 + ( ∈ [0, ])具有性质 ( )；
2

(3)已知函数 ( ) = lg 2 ( ∈ (0, +∞))具有性质 (2)，求 的取值范围． +1
第 3 页，共 7 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4
1
13.【答案】 + 2

14.【答案】1
15.【答案】解：(1) = { |1 ≤ ≤ 3}， = 3时， = { |2 < < 10}，
∴ = ∪ = { |1 ≤ < 10}，
∴ = { |3 < < 10}；
(2) ∵ ∩ = ，
∴ ，
1 < 1 2
∴ { ，解得 < < 2，
3 + 1 > 3 3
2
∴ 的取值范围为：( , 2)．
3
16.【答案】解：(1)因为 ( ) = 2 + 无零点，
即方程 2 + = 0无根，
所以 = 2 4 < 0，
解得0 < < 4，
所以实数 的取值范围为(0,4)；
(2)由 ( ) > ，
得 2 + > ，
第 4 页，共 7 页
即 2 ( + 1) + > 0，
所以( 1)( ) > 0，
令( 1)( ) = 0，
得 1 = 1， 2 = ，
所以当 < 1时，解得 < 或 > 1；
当 = 1时，解得 ≠ 1；
当 > 1时，解得 < 1或 > ；
综上，当 ≤ 1时，解集为( ∞, ) ∪ (1, +∞)；
当 > 1时，解集为( ∞, 1) ∪ ( , +∞)．
1
17.【答案】解：(1)因为终边与圆心为 的单位圆交于点 ， 位于第一象限，且 = ，
5
所以 > 0， > 0，
1
又1 = sin2 + cos2 = (cos + )2 + cos2 ，
5
3 4 3 4
所以 = ，sin = ，即 ( , )；
5 5 5 5
(2)由题意可得， = + ，
3 4
所以 = = ， = = ，
5 5
4
= = ，
cos 3
3 3 3
sin( + )+
2 + 5 5 9则 = = = ．
2 ( )+sin tan 2 +sin tan 8 4 4 + × 4
5 5 3
18.【答案】解：(1)由题意知，水温从100℃自然冷却到60℃用时30 ，
则60 20 = (100 20) 30 ，
即 30
1
= ，
2
1 1
所以 = ( )30；
2
1
(2)由(1)得 = 0 + ( 1 0)( )30， 2
因为 = 40， 0 = 20， 1 = 100，
1
所以40 = 20 + 80 × ( )30，
2
解得 = 60，
即他至少需要等待60 ；
第 5 页，共 7 页
(3)假设水温从80℃降至35℃需要 1 ，

1 1
则35 = 20 + (80 20) × ( )30，
2

1 1 1
即( )30 = ，
2 4
所以 1 = 60，
即水温从80℃冷却至35℃所用时间为60 ，再经过8 ，加热到80℃，
因为98 (60 + 8) = 30 < 60，
1 30
所以经过30 后，壶中水的温度为： = 20 + (80 20) × ( )30 = 50，
2
所以经过98 后壶中水的温度为50℃．
1
19.【答案】解：(1)函数 ( ) = 不具有性质 (1)，理由如下：

1 1 1
假设函数 ( ) = 具有性质 (1)，则 = + 1，
0+1 0
即 20 + 0 + 1 = 0，因为此方程无实根，所以与题设矛盾，
1
所以函数 ( ) = 不具有性质 (1)．

(2)证明：将 ( ) = 2 + 代入条件式 ( 0 + ) = ( 0) + ( )，
可得2 0+ + cos( 0 + ) = 2
0 + 0 + 2
+ ，
(2 1)2 0 2 0 2
+ 1 = 0，
令 ( ) = (2 1)2 2 2 + 1，

又 (0) = 2 < 0， ( ) = (2 1)22 2 + 1 = (2 1)(22 1) > 0，
2

因为函数 ( )的图象在[0, ]上是连续不断的，
2

所以函数 ( )在[0, ]上存在零点 0，使得 ( 2 0) = 0，
即(2 1)2 0 2 0 2
+ 1 = 0成立，
所以函数 ( ) = 2 + 具有性质 ( )．

(3)若 ( ) = lg 2 在(0, +∞)上具有性质 (2)， +1

所以lg 2 = lg 2 + lg 成立，
( 0+2) +1 0+1 5

即 2 = 2
，
( 0+2) +1 0+1 5
整理得( 5) 20 + 4 0 + 5 5 = 0，
从而关于 的函数 ( ) = ( 5) 2 + 4 + 5 5在(0, +∞)上应有实数零点 0，
第 6 页，共 7 页
①当 = 5时，方程的根为 1，不符合要求，所以 5 ≠ 0，

又因为 2 > 0，所以 > 0，所以0 < < 5或 > 5； +1
2
②当0 < < 5时，由于函数 ( )的对称轴 = > 0，抛物线的开口向下，
5
只需16 2 4( 5)(5 5) ≥ 0，
所以15 10√ 2 ≤ ≤ 15 + 10√ 2，又0 < < 5，所以15 10√ 2 ≤ < 5；
2
③当 > 5时，抛物线的开口向上，函数 ( )的对称轴 = < 0，
5
又 (0) = 5 5 > 0，所以 ( )在(0, +∞)上没有实数零点 0．
综上： 的取值范围是[15 10√ 2, 5)．
第 7 页，共 7 页