四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

四川省眉山市仁寿县 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与 468°角的终边相同的角的集合是( )
A. { | = 360° + 456°, ∈ } B. { | = 360° + 252°, ∈ }
C. { | = 360° + 96°, ∈ } D. { | = 360° 252°, ∈ }
1
2.函数 ( ) = ln 的零点所在的大致区间是 ( )

1
A. ( , 1) B. (1, ) C. ( , 2) D. ( 2, 3)
e
√ 2+ +6
3.函数 ( ) = 的定义域为( )

A. (1,2] B. (1,3] C. (0,1) ∪ (1,3] D. (0,1) ∪ (1,2]
4.已知函数 ( ) = 0.5(
2 + 2 3)，则函数 ( )单调递增区间为( )
A. ( ∞, 1) B. ( 1, +∞) C. (1, +∞) D. ( ∞, 3)
1
5.生物丰富度指数 = 是河流水质的一个评价指标，其中 ， 分别表示河流中的生物种类数与生物个体

总数.生物丰富度指数 越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数 没有变化，生物个体总数由 1变
为 2，生物丰富度指数由2提高到3，则( )
A. 3 2 3 3 22 = 2 1 B. 2 2 = 3 1 C. 2 = 1 D. 2 = 1
6.已知 = log20.3， = 3
0.2， = 0.32，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
2 + 4 + 5, ≤ 2
7.若函数 ( ) = { 是 上的减函数，则 的取值范围是( )
2 + 1, > 2
A. [ 2, 1] B. [ 2,0) C. ( ∞, 1] D. [ 1,0)
( ) ( )
8.已知定义在 上的函数 ( )满足 (2 ) = ( )，且当 2 > 1 ≥ 1时，恒有
2 1 < 0，则不等式 (
2 1
1) > (2 + 1)的解集为( )
2
A. ( 2,0) B. ( 2, )
3
2
C. ( ∞, 2) ∪ ( , +∞) D. ( ∞, 2) ∪ (0, +∞)
3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 = 1， > 0，且 ≠ 1，函数 = log ( )与 =
的图象可能是( )
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A. B.
C. D.
10.下列说法正确的有( )
A. 命题“ ∈ ， 2 + + 1 > 0”的否定为“ ∈ ， 2 + + 1 ≤ 0”
B. 若 > ， > ，则 >
2
C. 若幂函数 = ( 2 1) 2 3在区间(0, +∞)上是减函数，则 = 2或 1
D. 方程 2 + ( 3) + = 0有一个正实根，一个负实根，则 < 0
11.给出下列说法，正确的有( )
1
A. 函数 ( ) = 1(6 + 2 2)单调递增区间是[ , +∞)
4
2
B. 已知 ( ) = lg( 2 + 2 + )的定义域为 ，则 的取值范围是 > 1
3
C. 若函数 ( ) = 在定义域上为奇函数，则 = 1 1+3
D. 若函数 ( ) = ln( + √ 2 + 1)在定义域上为奇函数，且为增函数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.对任意 > 0且 ≠ 1，函数 ( ) = +1 + 1的图象都过定点 ，且 在角 的终边上，则 = ______．
|2 1|, < 0
13.已知函数 ( ) = {
2
，若函数 = ( ) 有3个零点，则实数 的取值范围是______．
2 + 1, ≥ 0
14.我们知道，函数 = ( )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 = ( )为奇函数，有
同学发现可以将其推广为：函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是函数 = ( +
) 为奇函数.若 ( ) = 3 + 3 2的对称中心为( , )，则 ( 2022) + ( 2021) + ( 2020) +
(2018) + (2019) + (2020) = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
计算：
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1 1 3
(1)0.027 3 ( ) 2 + 162 3 1 + 2 (√ 3 1)0；
7
8+ 125 2 5
(2) ．
lg√ 10 0.01
16.(本小题12分)
设集合 = ， = { |0 ≤ ≤ 3}， = { | 2 ≤ ≤ 2 }．
(1)若 = 3，求 ∩ ， ∪ ( )；
(2)若 ，求实数 的取值集合．
17.(本小题12分)
已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，且当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 4 ．
(1)写出函数 ( )( ∈ )的解析式；
(2)若函数 ( ) = ( ) + (3 ) + 4( ∈ [2,4])，求函数 ( )的最小值．
18.(本小题12分)
北京时间2024年8月12日凌晨，历经19个比赛日的激烈角逐，第33届奥运会在巴黎落下帷幕，奥运会上互
换的“ ”(即奥运徽章)是奥运会期间的一种重要纪念品和文化交流媒介.人们经常能在奥运村、比赛场馆
等场所展示和交换自己的奥运徽章，奥运徽章的交换不仅限于运动员中间，还包括观众、媒体、志愿者甚
至奥组委人员.中国队的熊猫 更是受到了各国友人的喜爱，造成了一 难求的局面.通过市场分析，对熊
20( 2 + 17),0 < ≤ 2
猫 而言，某企业每生产 (万件)获利 ( )(万元)，且满足 ( ) = { 80 . 2024年8月该企
500 , 2 < ≤ 5
1
业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为(20 + 10)万元.由
市场调研分析得知，当前熊猫 供不应求.记该企业2024年8月优化后的产品的利润为 ( )(单位：万元)．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)当2024年8月优化后的产品产是为多少万件时，该企业8月的利润 ( )最大？最大利润是多少？请说明理
由．
19.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 是定义在 上的奇函数．
(1)求 的值；
(2)已知函数 ( )在( ∞, 0)上单调递增；
①判断 ( )在(0, +∞)上的单调性(直接写结果，无需证明)；
②对任意 ∈ ，不等式 ( 2 + ) + (4 ) > 0恒成立时，求 的取值范围；
(3)设函数 ( ) = 4 + 4 2 ( )，求 ( )在[1, +∞)上的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 5
12.【答案】
5
13.【答案】(0,1)
14.【答案】12
1 1 3
15.【答案】解：(1)0.027 3 ( ) 2 + 162 3 1 + 2 (√ 3 1)0
7
10 1 3 1 10 1
= [( )3]3 (7)2 + (42)2 + 2 = 49 + 64 + 2 = 20；
3 3 3 3
8×125
8+ 125 2 5 lg
(2) = 2×5
100
1 = = 2.. lg√ 10． 0.01 ×( 2) 1
2
16.【答案】解：(1)因为 = { |0 ≤ ≤ 3}， = { |1 ≤ ≤ 6}，
所以 ∩ = { |1 ≤ ≤ 3}，
又 = { | < 1或 > 6}，
所以 ∪ ( ) = { | ≤ 3或 > 6}；
(2)因为 ，
当 = 时， 2 > 2 ，
解得 < 2，
2 ≤ 2
当 ≠ 时，则{ 2 ≥ 0 ，
2 ≤ 3
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无解，
综上所述，实数 的取值集合为{ | < 2}．
17.【答案】解：(1)当 > 0时， < 0，可得 ( ) = ( )2 + 4( ) = 2 4 ，
结合 ( )是定义在 上的奇函数，可得 ( ) = ( ) = 2 + 4 ，
2 + 4 , > 0
所以 ( ) = { ．
2 + 4 , ≤ 0
(2)当 ∈ [2,4]时，则 ( ) = 2 + 4 ，
可得 ( ) = ( ) + (3 ) + 4 = 2 + (7 ) + 4，
7
所以 ( )的图象是开口向下的抛物线，关于直线 = 对称，
2
7
①当 ≤ 3时，即 ≥ 1时， ( ) = (4) = 16 4 ； 2
7
②当 > 3时，即 < 1时， ( )
2
= (2) = 14 2 ．
16 4 , ≥ 1
综上所述， ( ) = { ． 14 2 , < 1
18.【答案】解：(1)已知2024年8月该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品
的其他成本总投入为(20 + 10)万元，
由市场调研分析得知，当前熊猫 供不应求．记该企业2024年8月优化后的产品的利润为 ( )(单位：万元
)，
则 ( ) = ( ) (20 + 10)，
20( 2 + 17),0 < ≤ 2
又 ( ) = { 80 ，
500 , 2 < ≤ 5
1
20 2 20 + 330,0 < ≤ 2
所以 ( ) = { 80 ．
490 20 , 2 < ≤ 5
1
1
(2)当0 < ≤ 2时， ( ) = 20 2 20 + 330 = 20( )2 + 325，
2
则 = 2时， ( ) = 370；
80 80 80
当2 < ≤ 5时， ( ) = 490 20 = 490 [ + 20( 1) + 20] ≤ 470 2√ 20( 1) =
1 1 1
390，
80
当且仅当 = 20( 1)，即 = 3时， ( ) = 390． 1
因为370 < 390，
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所以 ( )的最大值为390，
故当产量为3万件时，该企业利润最大，最大利润是390万元．
19.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = 2 + 2 是定义在 上的奇函数，
则有 (0) = 0，即1 + = 0，解得 = 1．
经检验满足题意，故 = 1；
(2)①函数 ( )在(0, +∞)上单调递增，理由如下：
因为 ( )在( ∞, 0)单调递增，又 ( ) = 2 2 为奇函数，
故函数 ( )在(0, +∞)上单调递增；
② ∵函数 ( )在 上单调递增，且为奇函数，
∴ ( 2 + ) + (4 ) > 0等价于 ( 2 + ) > ( 4)
对任意 ∈ ，不等式 ( 2 + ) + (4 ) > 0恒成立，
即 2 + > 4，对任意 ∈ 恒成立，即 2 + ( 1) + 4 > 0，
∴ = ( 1)2 16 < 0，解得 3 < < 5，
∴ 的取值范围是( 3,5)．
(3)令 = 2 2 ，则4 + 4 = (2 2 )2 + 2 = 2 + 2，
3
当 ∈ [1, +∞)，时， ∈ [ , +∞)．
2
∵ ( ) = 4 + 4 2(2 2 )， ∈ [1, +∞)，
3
∴ ( ) = 2 2 + 2， ∈ [ , +∞),
2
∴二次函数 ( )开口向上，对称轴为 = 1，
3
∴ ( )在区间[ , +∞)上单调递增，
2
3 3 3 5
∴ ( ) = ( ) = ( )
2 2 × + 2 = ，
2 2 2 4
5
即 ( )在[1, +∞)上的最小值为 ．
4
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