北京市海淀区第一零一中学2024-2025学年高三（上）统考三数学试题（PDF版，含答案）

北京市海淀区第一○一中学 2024-2025 学年高三（上）统考三数学试题
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知命题 : ∈ , 2 + 1 < 0，则 为( )
A. ∈ , 2 + 1 ≥ 0 B. , 2 + 1 ≥ 0
C. ∈ , 2 + 1 ≥ 0 D. ∈ , 2 + 1 < 0
2.下列函数中，既是奇函数又在(0,+∞)上单调递增的是( )
1 1
A. = 2 B. = C. = tan D. = | |

2 2
3.不等式| | > 的解集是( )

A. (0,2) B. ( ∞, 0)
C. (2,+∞) D. ( ∞, 0) ∪ (0,+∞)
1
4.在 中，若 = √ 2, ∠ = , cos = ，则 =( )
6 3
√ 3 2 8√ 3 8
A. B. C. D.
3 3 9 3
5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减
一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健
步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第三天走的路
程为( )
A. 12里 B. 24里 C. 48里 D. 96里
6.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶.其上部可视为
由两个相同的直三棱枓交叠而成的几何体(图2).这两个直三棱柱有一个公共侧面 .在底面 中，若
= = 3,∠ = 120 ，则该几何体的体积为( )
27 27√ 3
A. B. C. 27 D. 27√ 3
2 2
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7.已知 ( 1,0), (1,0)，若点 满足 ⊥ ，则点 到直线 : ( √ 3) + ( 1) = 0的距离的最大值为
( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.已知函数 ( ) = sin ( + ) ( > 0)，“存在 , ∈ [0, ]，函数 ( )的图象既关于直线 = 对称，又
6 2
关于点( , 0)对称”是“ ≥ 2”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件：
2 2
9.已知双曲线 : = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ， 是双曲线 的半焦距，点 是圆 2+ 2= 22 2 上一点，
线段 与双曲线 的右支交于点 .若| | = , = 2 ，则双曲线 的离心率为( )
√ 7 3√ 3 3√ 7
A. B. C. √ 7 D.
2 2 2

, & ∈ [0, ]
10.函数 ( )是定义域为 的奇函数，且它的最小正周期是 ，已知 ( ) = { 4 , ( ) = ( +
, & ∈ ( , ]
2 4 2
)( ∈ ).给出下列四个判断：
(1)对于给定的正整数 ，存在 ∈ ，使得∑ = 1 ( ) ( ) = 0成立；


(2)当 = 时，对于给定的正整数 ，存在： ∈ ( ≠ 1)，使得∑ = 1 ( ) ( ) = 0成立；
4

(3)当 = ( ∈ )时，函数 ( ) + ( )既有对称轴又有对称中心；
4

(4)当 = ( ∈ )时， ( ) + ( )的值只有0或 ．
4 4
其中正确判断的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。

11.若复数 满足 = 2 + .则在复平面内， 对应的点的坐标是 ．
1+
2
12.若( ) 的展开式的二项式系数和为32，则展开式中 3的系数为 ．

13.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为5%，第2，3台加工的次品率均为4%，加工出来
的零件混放在一起；已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现任取一个零件，
则该零件是次品的概率为 ．
14.已知点 , , 在圆 2 + 2 = 4上运动，且 ⊥ ，若点 的坐标为(1,0)，则| + + |的取值范围
是 ．
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15.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 ， 上的动点(含端点)， = ，
设 = .给出下列四个结论：
(1)平面 1 ⊥平面 1 1 ；

(2)存在 ， ，使直线 1 , 1 所成的角为 ； 3
1
(3)存在唯一的点 ，使三棱锥 1 的体积为 ； 3
2√ 2
(4)二面角 1正切值的取值范围是[ , 1]． 3
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)

已知函数 ( ) = √ 3sin + 2 2 .在 中， ( ) = ( )，且 ≠ ．
2
(1)求∠ 的大小；
(2)若 = 5，且 的面积为2√ 3，求 的周长．
17.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， 为棱 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ⊥ ，再从条件① 条件② 条件③中选择若干个作为已知，使四棱锥 唯一确定，并求：
( )直线 与平面 所成角的正弦值；
( )点 到平面 的距离．
条件①：二面角 的大小为45 ；
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条件②： = √ 2
条件③： ⊥ ．
18.(本小题12分)
某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有1800名学生．为了解全校学生两个月以来的课外阅读时
间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了100名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”
按学生的课外阅读时间(单位：小时)各分为5组：[0,10), [10,20), [20,30), [30,40), [40,50]，得到初中生组的
频率分布直方图(图1)和高中生组的频数分布表(表1)．
表1高中生组
分组区间 频数
[0,10) 2
[10,20) 10
[20,30) 14
[30,40) 12
[40,50] 2
(1)求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内的总人数；
(2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，记 为3人中初中生的人数，求 的分布列和数
学期望；
(3)若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该校高中部抽取10名学生进行调查，其中有 名学生的
阅读时间在[30,40)的概率为 ( = 0,1,2, ,10)，请直接写出 为何值时 取得最大值．(结论不要求证明)
19.(本小题12分)
2 2 √ 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴长为2√ 3，离心率 = ． 2
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(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为坐标原点，直线 是圆 2 + 2 = 1的一条切线，且直线 与椭圆 交于 , 两点，若平行四边形
的顶点 恰好在椭圆 上，求平行四边形 的面积．
20.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = ln( ) 2 + ( < 0)．
2
(1)求 ( )的单调区间；
(2)若 1 < < 2(ln2 1)，求证：函数 ( )只有一个零点 0，且 + 1 < 0 < + 2；
4
(3)当 = 时，记函数 ( )的零点为 0，若对任意 1, 2 ∈ [0, 5 0
]且 2 1 = 1，都有| ( 2) ( 1)| ≥ 成
9 9
立，求实数 的最大值．(本题可参考数据：ln2 ≈ 0.7, ln ≈ 0.8, ln ≈ 0.59)
4 5
21.(本小题12分)
已知 : 1, 2, , 为有穷正整数数列，且 1 ≤ 2 ≤ ≤ ，集合 = { 1,0,1}.若存在 ∈ , = 1,2, , ，
使得 1 1 + 2 2 + + = ，则称 为 可表数，称集合 = { ∣ = 1 1 + 2 2 + + , ∈
, = 1,2, , }为 可表集．
(1)若 = 10, = 2
1, = 1,2, , ，判定31，1024是否为 可表数，并说明理由；
3 1
(2)若{1,2, , } ，证明： ≤ ；
2
(3)设 = 3 1 , = 1,2, , ，若{1,2, ,2024} ，求 的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1,3)
12.【答案】 10
13.【答案】4.25%
/0.0425
14.【答案】[1,5]
15.【答案】(1)(3)(4)

16.【答案】解：(1)解：由函数 ( ) = √ 3sin + 2 2 = √ 3sin + cos + 1 = 2sin( + ) + 1，
2 6

因为 ( ) = ( )，可得sin( + ) = sin( + )，
6 6
7 7
在 中，因为 , ∈ (0, )，所以 + ∈ ( , ), + ∈ ( , )，
6 6 6 6 6 6
2
又因为 ≠ ，所以 ≠ ，所以( + ) + ( + ) = ，解得 + = ，
6 6 3

因为 + + = ，所以 = ．
3
1
(2)解：由(1)知 = ，因为 的面积为 = sin = 2√ 3，所以 = 8， 3 2

在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，即25 = 2 + 2 2 cos ，
3
整理得 2 + 2 = 25，所以( + )2 3 = 25，
即( + )2 = 25 + 3 = 49，所以 + = 7，
所以 的周长为 + + = 12．
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17.【答案】(1)
(1)连接 ，交 于 ，连接 ，
底面 是正方形，故 是 的中点，
又因为 为棱 的中点，
所以，在 中 // ，
而 平面 , 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)选①②：
因为四边形 是正方形，
所以 ⊥ , ⊥ , // ，
又因为 ⊥ ，所以 ⊥ ，
因为二面角 的大小为45 ，平面 ∩平面 = , ⊥ , ⊥ ，所以∠ = 45 ，
在 中， 2 = 2 + 2 2 cos∠ = 1，
所以 2 + 2 = 2，
故 ⊥ ，
又因为 ⊥ , ⊥ , ∩ = , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
选①③：
因为四边形 是正方形，
所以 ⊥ , ⊥ , // ，
又因为 ⊥ ，所以 ⊥ ，
因为二面角 的大小为45 ，平面 ∩平面 = , ⊥ , ⊥ ，
所以∠ = 45 ，
因为 ⊥ , ⊥ , ∩ = , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
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又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ , ∩ = , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 为 中点，所以 = ，
所以∠ = ∠ = 45 ，
所以∠ = 90 ，即 ⊥ ，
因为 // , ⊥平面 ，
所以 ⊥平面 ，
选②③：
因为四边形 是正方形，
所以 ⊥ , // ，
因为 ⊥ , ⊥ , ∩ = , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ , ∩ = , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 为 中点，所以 = = 1，
在 中， 2 + 2 = 2，
故 ⊥ ，
因为 // , ⊥平面 ，
所以 ⊥平面 ，
选①②③同上．
以 为原点， , , 为 , , 轴建立空间直角坐标系，
1 1
则 (0,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0, , ) , (0,0,1)，
2 2
故
1 1
= (0, , ) , = (1,1,0), = (1,1, 1)，
2 2

1 1
= + = 0,
令 = ( , , )为面 的一个法向量，则{ 2 2
= + = 0.
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令 = 1，则 = (1, 1,1)，
| | 1 1
( )因为|cos , | = = = ，
| || | √ 3×√ 3 3
1
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
3
1 √ 3
( )由( )知点 到平面 的距离 | | = ．
3 3
18.【答案】(1)100名学生中高中生有2 + 10 + 14 + 12 + 2 = 40人，初中生有100 40 = 60人，
40
设高中部的学生人数为 ，则有 = = 1200，
1800 60

设100名学生中初中生在[30,40)小时内的人数为 ，则有0.005 × 10 + 0.03 × 10 + 0.04 × 10 + ×
(100 40)×10
10 + 0.005 × 10 = 1 = 12，
100名学生中高中生在[30,40)小时内的人数为12人，
因此全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内的总人数估计为：
12 12
1200 × + 1800 × = 720；
40 100 40
(2)课外阅读时间不足10个小时的样本中，
初中学生人数为0.005 × 10 × 60 = 3人，
高中学生人数为2人，所以 = 1,2,3，
13
2 3 22 3
1 3
因此有 ( = 1) = = ， ( = 2) = 2
3 1
3 3 = ， ( = 3) =
3 = ，
10 55 5
3 10
5
所以 的分布列如下：
1 2 3
3 3 1

10510
3 3 1
的数学期望为 ( ) = × 1 + × 2 + × 3 = 1.8；
10 5 10
(3)由(1)高中部的学生人数为1200，
12
其中阅读时间在[30,40)的人数为1200 × = 360，
40
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360
所以每个人被抽到[30,40)内的概率为 = 0.3，
1200
因此 = 10 0. 3
(1 0.3)10 ，
≥ 0. 3 (1 0.3)10 ≥ +1 0. 3 +1 (1 0.3)9
假设 为最大项，则有{
+1 { 10 10
≥ 0. 3 (1 0.3)10 ≥ 1
,
1 11
1 10 10 0. 3 (1 0.3)
解得：2.3 ≤ ≤ 3.3，因为 = 0,1,2, ,10，
所以当 = 3时， 有最大值．
2 = 2√ 3 2 = 6
19.【答案】解：(1)由题意可得 { √ 2= ，解得 { 2 = 3 ，
2
2
2 = 2 + 2
= 3
2 2
所以椭圆 的方程为 + = 1 ；
6 3
(2)当圆的切线斜率不存在时，切线方程为 = ±1 ，
当切线方程为 = 1 时，由椭圆的对称性可得 (2,0) ，
4 0 2
因为 + = < 1 ，所以点 (2,0) 不在椭圆上，不符题意，
6 3 3
当切线方程为 = 1 时，由椭圆的对称性可得 ( 2,0) ，
4 0 2
因为 + = < 1 ，所以点 ( 2,0) 不在椭圆上，不符题意，
6 3 3
所以切线的斜率存在，设切线方程为 = + ，
| |
则 = 1 ，所以 2 = 2 + 1 ①，
√ 2 +1
= +
联立 { 2 2 ，整理得 (2 2 + 1) 2 + 4 + 2 2 6 = 0 ，
+ = 1
6 3
= 16 2 2 4(2 2 + 1)(2 2 6)
= 4(12 2 2 2 + 6) = 4(10 2 + 4) > 0
故设 ( 1, 1), ( 2, 2) ，
4 2 2 6
则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
2 +1 2 +1
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2 2
4 2 (2 +1) 2
故 1 + 2 = ( 1 + 2) + 2 = 2 + 2 = 2 ，
2 +1 2 +1 2 +1
2
所以线段 的中点坐标为 ( 2 , 2 ) ，
2 +1 2 +1
因为四边形 为平行四边形，
4 2
所以 ( 2 , 2 ) ，
2 +1 2 +1
又因为点 在椭圆 上，
2
16 2 4 2
所以 2 + 2 = 1 ②， 2 2
6(2 +1) 3(2 +1)
2 2 2
8 ( +1) 4( +1)
将①代入②得 + = 1 ，
2 2 2 2
3(2 +1) 3(2 +1)
√ 2
解得 = ± ，
2
√ 6
所以 = ± ，
2
1
所以 | | = √ 1 + √ ( + )2 4
2 1 2 1 2
3 4 2 2 6
= √ √ ( )2 4 ×
2 2 2 + 1 2 2 + 1
2
3 16 2 2 2 6
= √ √ 2 4 × 2 2 2
(2 +1) 2 +1
1 3 3
3 16× × 2× 62 2 2 3√ 6= √ √ 2 4 × = ， 2 1 1 2
(2× +1) 2× +1
2 2
1 3√ 6 3√ 6
所以 = 2 △ = 2 × × × 1 = ． 2 2 2
20.【答案】(1)函数 ( )的定义域为( , +∞)，( < 0)
[ ( +1)]
′( ) = + 1 = ，

令 ′( ) = 0，则 = 0或 + 1，
2
当 + 1 = 0，即 = 1时， ′( ) = ，则 ′( ) ≤ 0，
+1
所以函数 ( )在( 1,+∞)上递增，
当 + 1 > 0，即 1 < < 0时，
< < 0或 > + 1时， ’( ) < 0，0 < < + 1， ’( ) > 0，
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所以函数 ( )在( , 0), ( + 1,+∞)上递减，在(0, + 1)上递增，
当 + 1 < 0，即 < 1时，
< < + 1或 > 0时， ’( ) < 0， + 1 < < 0， ’( ) > 0，
所以函数 ( )在( , + 1), (0,+∞)上递减，在(0, + 1)上递增，
综上所述，当 = 1时，函数 ( )的增区间为( 1,+∞)，
当 1 < < 0时，函数 ( )的减区间为( , 0), ( + 1,+∞)，增区间为(0, + 1)，
当 < 1时，函数 ( )的减区间为( , + 1), (0,+∞)，增区间为(0, + 1)；
(2)证明：当 1 < < 2(ln2 1)时，因为2(ln2 1) < 0，
所以由(1)知， ( )的极小值为 (0)，极大值为 ( + 1)，
1 1
因为 (0) = ln( ) > 0， ( + 1) = ( + 1)2 + ( + 1) = (1 2) > 0，
2 2
且 ( )在( + 1,+∞)上是减函数，
所以 ( )至多有一个零点．
又因为 1 < < 2(ln2 1)
1 1
所以 ( + 2) = ln2 2 = [ 2(ln2 1)] < 0，
2 2
即由数形结合可得，函数 ( )只有一个零点 0，且 + 1 < 0 < + 2；
4
(3)因为ln2 ≈ 0.7，所以 1 < < 2(ln2 1)，
5
所以任意 1, 2 ∈ [0, 0]且 2 1 = 1，
由(2)可知 1 ∈ [0, + 1], 2 ∈ ( + 1, 0]且 2 ≥ 1，
因为函数 ( )在(0, + 1)上是增函数，在( + 1,+∞)上是减函数，
所以 ( 1) ≥ (0)， ( 2) ≤ (1)，
所以 ( 1) ( 2) ≥ (0) (1)，
4 9 1 4 9 1
当 = 时，因为ln ≈ 0.8，所以 (0) (1) = ln ( ) = ln > 0，
5 4 1 2 5 4 2
所以 ( 1) ( 2) ≥ (0) (1) > 0，
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4 9 1
所以| ( 2) ( 1)|的最小值为 (0) (1) = ln ， 5 4 2
4 9 1
所以使得| ( 2) ( 1)| ≥ 恒成立的 的最大值为 ln ． 5 4 2
21.【答案】解：(1)31是，1024不是，理由如下：
由题意可知 1 1 + 2 2 + + = ，
当 = 2 1 , = 10时，有 1 + 2 2 + + 2
9 10 = , ∈ { 1,0,1}，
显然若 1 = 1, 6 = 1, = 0( ∈ {2,3,4,5,7,8,9,10})时， = 31，
而 ≤ 20 × 1 + 21 × 1 + 22 × 1 + + 29 × 1 = 210 1 = 1023 < 1024，
故31是 可表数，1024不是 可表数；
(2)由题意可知若 = 0 = 0，即0 ∈ ，
设 ∈ ，即 ∈ { 1,0,1}使得 1 1 + 2 2 + + = ，
所以( 1 1) + ( 2 2) + + ( ) = ，且 ∈ { 1,0,1}成立，故 ∈ ，
所以若{1,2, , } ，则{±1,±2, ,± , 0} ，
即{±1,±2, ± , 0}中的元素个数不能超过 中的元素，
对于确定的 ， 中最多有3 个元素，
3 1
所以2 + 1 ≤ 3 ≤ ；
2
1
(3)由题意可设 ∈
3 1 3 1
, ∈ ，使 < ≤ ，
2 2
3 1 1
又 1 × 1 + 2 × 3 +
2 2 2 2
3 × 3 + + 1 × 3 ≤ 1 × 1 + 1 × 3 + 1 × 3 + + 1 × 3 = ， 2
所以 > 1，即 ≥ ，

而1 × 1 + 1 × 3 + 1 × 32 + + 1 × 3 1
3 1
= ，
2
3 1
即当 = 时，取 1 = 1, 2 = 3, = 3
1时， 为 可表数，
2
3 1
因为2 × (1 × 1 + 1 × 3 + 1 × 32 + + 1 × 3 1) = 2 × = 3 1，
2
由三进制的基本事实可知，对任意的0 ≤ ≤ 3 1，存在 ∈ {0,1,2}( = 1,2, , , )，
使 = 0 11 × 3 + 2 × 3 +
1
× 3 ，
3 1
所以 = ( 1 × 3
0 + 1 1 0 1 1
2 2
× 3 + × 3 ) (3 + 3 + + 3 )
= ( 1 1) × 3
0 + ( 2 1) × 3
1 + + ( 1) × 3
1，
令 = 1，则有 ∈ { 1,0,1}, = 1,2, , ，
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3 1 3 1 3 1
设 = ≤ ≤ ，
2 2 2
3 1 3 1
由 的任意性，对任意的 ≤ ≤ , ∈ ，
2 2
都有 = 1 × 3
0 + 2 × 3
1 + + × 3
1, ∈ { 1,0,1}, = 1,2, , ，
3 1
又因为 ≤ ，所以对于任意的 ≤ ≤ , ∈ ， 为 可表数，
2
3 1 1 3 1
综上，可知 的最小值为 ，其中 满足 < ≤ ，
2 2
37 1 38 1
又当 = 2024时， < ≤ ，
2 2
所以 的最小值为8．
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