浙江省余姚市2024-2025学年第一学期九年级统考期末数学试卷（含答案）

余姚市 2024-2025 学年第一学期初中期末考试 九年级数学
姓名:_____ 准考证号:_____ 座位号:_____
温馨提示:
1. 本试卷分试题卷和答题卷两部分, 满分 120 分, 考试时间 120 分钟.
2. 所有答案都必须做在答题卷规定的位置上, 务必注意试题序号和答题序号相对应.
3. 考试期间不能使用计算器.
试 题 卷 I
一、选择题 (每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1. 抛物线 与 轴的交点坐标是( )
A.(0, - 4) B.(4,0) C.(0,4) D.(4,0)
2. 下列事件中,属于必然事件的是 ( )
A. 抛掷一枚硬币, 正面向上 B. 有一匹马奔跑的速度是 70 米/秒
C. 射击运动员射击一次, 命中 10 环
D. 在标准大气压下,气温为 时,冰能熔化为水
3. 已知一个正多边形的内角是 ,则这个正多边形的边数为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4. 如图, 内接于 ,连结 ,若 ,则 的度数为( )
A. B. C. D.
(第 4 题) (第 6 题)
5. 将抛物线 向下平移 个单位后,得到的图象经过原点,则 的值为( )
A. 5 B.6 C. 7 D. 8
6. 凸透镜成像的原理如图所示, . 若物体到焦点 的距离与焦点 到凸透镜的中心线 的距离之比为 ,则物体被缩小到原来的
A. B. C. D.
7. 在 Rt 中,斜边 ,其重心与外心之间的距离为( ).
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
8. 如图,在 中, ,以点 为旋转中心,将 按逆时针方向旋转, 得到 ,点 恰好落在边 上, 与 交于点 ,则 长为( )
A. B. C. D.
(第 8 题) (第 10 题)
9. 二次函数 的图象与 轴的交点为 和 ,且 ,下列说法中正确的是 ( )
A. B. C. D.
10. 综合与实践课上,同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动。小明同学准备了一张长方形纸片 , ,他在边 上取中点 ,又在边 上任取一点 ,再将 沿 折叠得到 , 连结 ,小明同学通过多次实践得到以下结论:
① 当点 在边 上运动时,点 在以 为圆心的圆弧上运动;
② 的最大值为 24 ； ③ 的最小值为 16 ;
④ ’达到最小值时, .
上述结论中正确的个数是 ( )
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
试 题 卷 II
二、填空题 (每小题 3 分, 共 18 分)
11. 请写出一个图象开口向上的二次函数:_____▲_____.
12. 已知 ,则 的值为_____▲_____.
13. 一名职业篮球运动员经过大量投篮训练, 其投篮命中的频率稳定在常数 0.8 附近, 由此可估计该运动员投篮 200 次,命中的次数约为_____▲_____次.
14. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,其主要思路是局部以直代曲,给出一个比较实用的近似公式. 如图, 是以 为圆心, 为半径的圆弧, 点 是弦 的中点, 在 上. “会圆术” 给出 的弧长的近似值 的计算公式: . 当 时, _____▲_____ .
(第 14 题) (第 15 题) (第 16 题)
15. 定义: 由两条与 轴有相同的交点,并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为 “月牙线”. 已知抛物线 与抛物线 组成一个如图所示的 “月牙线”,则 _____▲_____
16. 如图,在菱形 中, ,点 在边 上, ,连结 交对角线 于 ,点 在线段 上,连结 , ,若 , ,则 _____▲_____
三、解答题 (第 172 1 题各 8 分,第 22、23 题各 10 分,第 24 题 12 分,共 72 分)
17. 已知二次函数 ,在下面的三组条件中选一组 的值,使这个二次函数图象与 轴有两 个不同的交点.
① ;
② ；
③ .
(1)请选出符合条件的一组 的值,求出函数图象与 轴交点的坐标.
(2)求所选二次函数图象的顶点坐标.
18. 在一个不透明的袋子中装有 2 个红球, 1 个白球, 它们除颜色外其余都相同.
(1)从袋子中摸出一个球,是红球的概率为_____▲_____。
(2)从袋子中摸出 1 个球,记下颜色后放回并搅匀,再摸出 1 个球,请用列表或画树状图的方法,求两次摸出的球都是红球的概率.
19. 在 的方格纸中,请按下列要求作出格点三角形 (顶点均在格点上).
(1)在图 1 中作出将 以点 为旋转中心,按顺时针旋转 所得的图形.
(2)在图 2 中画出一个与 相似的三角形(相似比不为 1).
20. 如图,四边形 为平行四边形,点 在 延长线上,连结 ,且 .
(1)求证: .
(2)若 ,求 的长.
21. 近期, 动漫形象 “奶龙” 在网络上爆火. 某网店销售一款 “奶龙” 公仔, 每个的进价为 20 元, 在销售过程中调查发现, 当销售单价为 30 元时, 每周平均可卖出 120 个. 如果调整销售单价, 每涨价 1 元, 每周平均少卖出 4 个. 若现提价销售,设销售单价提高 元,每周的销售利润为 元.
(1)求 关于 的函数表达式,并直接写出自变量 的取值范围.
(2)当销售单价定为多少时,该网店每周的利润最大？并求出最大利润.
22. 如图,以 的边 为直径的 交 边于点 ,交 的延长线于点 ,且 .
(1) 求证: .
(2)若 ,求阴影部分的面积.
23. 已知二次函数 ( 为常数且 ).
(1)若二次函数的图象经过点(2,6),求二次函数的表达式.
(2)若 ,当 时,此二次函数 随着 的增大而减小,求 的取值范围.
(3)若二次函数在 时有最小值-5,求 的值.
24. 如图, 内接于 的角平分线 交 于点 ,交 于点 ,点 在边 上,且 .
(1)求证: .
(2)求证: .
(3)若 ,点 是 的黄金分割点,求 的度数.
2024-2025 学年第一学期初中期末考试九年级数学 参考答案及评分参考
一、选择题 (每小题 3 分, 共 30 分, 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B D C A B C C D
二、填空题 (每小题 3 分, 共 18 分)
题号 11 12 13 14 15 16
答案 (答案不唯一) 160 12.4 1: 3,
三、解答题 (第 17-21 题各 8 分, 第 22、23 题各 10 分, 第 24 题 12 分, 共 72 分)
注:1. 阅卷时应按步计分,每步只设整分.
2. 如有其它解法, 只要正确, 可参照评分标准, 各步相应给分.
17.解:(1) 二次函数图象与 x 轴有两个不同的交点,
.
则符合条件的为②,此时函数表达式为 .
令 ,解得 .
函数图象与 轴的两个交点坐标为 . 4 分
(2) ,
函数图象的顶点坐标为(-2, - 9). -8 分
18. 解: (1) . -3 分
(2) 都是红球的概率为 . -8 分
19. 解:
(1) 为所求作的三角形. 4 分
(2) 为所求作的三角形. -8 分
20. 解: (1)∵四边形 是平行四边形,
.
,
.
,
. -4 分
(2) ,
,
. -8 分
21.解: (1) ,
所求函数表达式为 . -5 分
(2)当 时,最大利润 ,
此时销售单价为 元.
当销售单价定为 40 元时,每周利润最大为 1600 元. -8 分 22. 解: (1) 连结 .
,
,
.
是直径,
,即 ,
. -5 分
(2)连结 .
,
.
,
.
,
,
.
又 ,
为等边三角形, .
,
, . -10 分
23. 解:(1)把(2,6)代入 得 ,解得 ,
所求函数表达式为 . -3 分
(2)∵对称轴为直线 ,且 ,
抛物线开口向下,且当 时二次函数 随 的增大而减小,
当 时,此二次函数 随着 的增大而减小,
,即 . -6 分
(3)当 时开口向上,
当 时,二次函数有最小值 ,
则 ,即 ; -8 分
当 时开口向下,
当 时,二次函数有最小值 ,
则 ,即 .
综上所述, 或 . 10 分
24.解:(1) ,
.
,
. -3 分
(2)连结 . 平分 , . , . , . , , . -7 分 (3)连结 . , , , , . , , .
① 当 时,
是 的黄金分割点,
,
,
,
,
.
设 ,则 ,
在 中, ,
.
解得 .
. -10 分
② 当 时,
是 的黄金分割点,
,即 ,
,
,
,
在 上截取 ,
则有 ,
,
,
,即
,
.
,
,
设 ,则 ,
在 中, ,
解得
,
,
,
.
综上所述, 或 . -12 分