课件25张PPT。第七章锐角三角函数
基础知识和能力概要中考要求1）基本概念：包括直角三角形的基本元素，边角关系，锐角三角函数等2）基本计算：包括对角的计算，对边的计算，应用某种关系计算等。3）基本应用：主要题型是：测量，航海，坡面改造，光学，修筑公路等其主要思想方法是：方程思想，数形结合，化归转化，数学建模等。sin A= cos A= tan A= cot A= （一）锐角三角函数的概念0＜sin A＜1，0＜cos A＜1 （二）同角三角函数之间的关系（三）互余两角三角函数之间的关系（四）三角函数值的变化规律1）当角度在0---90之间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）2）当角度在0---90之间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）11角度
逐渐
增大正弦值如何变化?正弦值也增大余弦值如何变化?余弦值逐渐减小正切值如何变化?正切值也随之增大余切值如何变化?余切值逐渐减小（五）特殊的三角函数值 填空：比较大小（六）解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。若直角三角形ABC中，∠C=90?，那么∠A， ∠ B， ∠ C，a,b,c中除∠C=90°外，其余5个元素之间有如下关系：1）a2+b2=c22）∠A+∠B=90?3）1）仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.（七）应用问题中的几个重要概念以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角.如图所示：2）方向角坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝ =tan a
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡. 在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图:坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面坡度（或坡比）.记作i,即 I = .3）坡度（坡比）,坡角的概念☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系1）在Rt?ABC中，∠C=90°BC=a，AC=b若sinA ﹕ sinB = 2 ﹕3，求a ﹕b的值解法1 设AB=c由三角函数的定义得：sinA ﹕sinB=a/c ﹕b/c=a ﹕b
∴ a ﹕ b = 2/3解法2 由三角函数的定义得：
a=csinA, b=csinB, a/b=csinA/csinB
∴ a ﹕ b=sinA/sinB = 2/3抓住三角函数的定义是解题的关键☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2 在?ABC中∠A≠ ∠ B，∠C=90°则下列结论正确的是（ ）sinA>sinB
sin2A+sin2B=1
sinA=sinB
若各边长都扩大为原来的2倍，则tanA也扩大为原来的2倍
A)(1)(3) B)(2)C)(2)(4) D)(1)(2)(3)解析：令a=3,b=4则c=5,sinA=3/5,
sinB=4/5且∠ A ≠∠ B，易知
（1）（3）都不对，故选 B）用构造特殊的直角三角形来否定某些关系式，是解决选择题的常用方法☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值C☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值点评 融特殊角的三角函数值，简单的无理方程的计算以及数的零次幂的意义于一体是中考命题率极高的题型之一☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的三角函数关系5.下列式中不正确的是（ ）C点评：应用互余的三角函数关系进行正弦与余弦的互化，并了解同一个锐角的三角函数关系，能运用其关系进行简单的转化运算，才能解决这类问题。☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的三角函数关系6 在?ABC中∠C=90°化简下面的式子点评：利用互余或同角的三角函数关系的相关结论是解决这类问题的关键☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的三角函数关系4.解直角三角形点评：由于三角函数是边之间的比，因此利用我们熟知的按比例设为参数比的形式来求解，是处理直角三角形问题的常用方法。☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的三角函数关系4.解直角三角形解直角三角形8.如图小正方形的边长为1，连结小正方形的三个顶点得到?ABC，则AC边上是的高（ ）点评：作BC边上的高，利用面积公式即可求出AC边的高，面积法是解决此类问题的有效途径☆ 考点范例解析1.锐角三角函数的概念关系2.求特殊角的三角函数值3.互余或同角的三角函数关系4.解直角三角形5.解直角三角形的应用9.如图某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离（即CE的长）为8米，测得旗杆顶 的仰角∠ECA为30°旗杆底部的俯角∠ECB为45 °则旗杆AB的高度是（ ）米点评：此题属于解直角三角形的基本应用题—测量问题，要明确仰角和俯角，然后数形结合直接从图形出发解直角三角形.10.如图某船以每小时30海里的速度先向正东方向航行，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上，航行3小时到达点B，测得该岛在北偏东30°的方向上且该岛周围16海里内有暗礁（1）试证明：点B在暗礁区外；
（2）若继续向东航行有无触暗礁的危险？解：1）由题意得，∠CAB=30°，∠ABC=120 ° ，则∠C=30 ° ，BC=AB=30×3=90 > 16∴点B在暗礁区外.2)如图过点C作CD⊥AB交AB的延长线于D点，设BD=x，在Rt?BCD中，∠CBD=60°，∴船继续向东航行没有触礁的危险。11）如图AM，BN是一束平行的阳光从教室窗户AB射入的平面示意图，光线与地面所成的角∠AMC=30°，在教室地面的影长MN= 米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为（ ）米B此题属于光学问题的基本应用，首先要对有关生活常识有所了解，从图形入手，数形结合，将已知信息转化为解直角三角形的数学模型去解。12）如图，一张长方形的纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b(a>b) ，在BC边上选取一点M，将?ABM沿着AM翻折后，B至N的位置，若N为长方形纸片ABCD的对称中心，求a/b的值。点评：此题是创新综合题，要求我们对图形及其变换有较深刻的理解，并运用图形对称性和解直角三角形知识或勾股定理建立等式求解。（1）若该轮船自A按原速度原方向继续航行，在途中会不会遇到台风？（2）若该轮船自A立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去继续航行，为使船在台风到达之前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数）课件65张PPT。 结合近年中考试题分析，锐角三角函数的内容考查主要有以下特点:
1.命题方式为锐角三角函数的定义、性质的应用、特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现. 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 1.掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊角的三角函数值进行计算.
2.了解实际问题中的仰角、俯角、方位角、坡度的概念，会将实际问题转化为数学问题，建立数学模型.
3.会通过作适当的辅助线构造直角三角形，使之转化为解直角三角形的计算问题. 4.本讲知识常和三角形、四边形、相似形、圆、坐标系、一元二次方程结合命题，在解题时为了减少失误，求解各未知元素时，应尽量代入已知条件中的数值，少用中间过程中计算出的数值.锐角三角函数的概念与性质锐角三角函数的概念是指锐角的正弦、余弦、正切的概念；锐角的三个三角函数是在直角三角形中定义的，其正弦值等于锐角的对边长除以直角三角形的斜边长；余弦值等于锐角的邻边长除以斜边长；正切值是锐角的对边长除以锐角的邻边长；锐角的三角函数有时还可以放到平面直角坐标系中定义；锐角的三角函数将直角三角形的边与角之间建立了数量关系，是解直角三角形重要的参数.【例1】(2011·乐山中考)如图，在4×4的正方形网格中，tanα=( )
(A)1 (B)2 (C) (D)
【思路点拨】【自主解答】选B.根据网格的特点：设每一小正方形的边长
为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用正切的
定义 故选B.1.(2010·常德中考)在Rt△ABC中，∠C=90°,若AC=2BC，则sinA的值是( )
(A) (B)2 (C) (D)
【解析】选C.因为∠C=90°，
所以2.(2010·黄冈中考)在△ABC中，∠C＝90°， ，则tanB＝( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选B. 因 ，所以 ，在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2,所以 ，所以
.故选B.3.(2011·福州中考)Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，那么c等于( )
(A) (B)
(C) (D)【解析】选B.过点C作CD⊥AB于D,在Rt△ACD中,
,所以AD=b cosA,同理,BD=a cosB,所以c=AB=AD+BD=b cosA+a cosB,又∠A+∠B=90°,所以cosA=sinB,cosB=sinA,所以c=a sinA+b sinB. 特殊角的三角函数值锐角30°、45°、60°的三角函数值在有关的计算题和证明题中经常出现，必须牢记；以上锐角的正弦、余弦、正切值可以总结成以下口诀：“1、2、3，3、2、1，3、9、27！”即：【例2】(2010·凉山中考)计算：
【思路点拨】
【自主解答】原式
=
=-2.4.(2011·茂名中考)如图,已知:45°
则下列各式成立的是( )
(A)sinA=cosA
(B)sinA>cosA
(C)sinA>tanA
(D)sinA【解析】选B.当∠A>45°时,BC>AC,所以sinA>cosA.5.(2011·黄冈中考)cos30°=( )
(A) (B) (C) (D)
【解析】选C.由三角函数的定义知6.(2011·丽水中考)计算:
【解析】原式=7.(2011·乐山中考)计算：
【解析】
解直角三角形及应用解直角三角形是指利用直角三角形中的已知条件探求其他未知元素，锐角的三角函数起着桥梁的作用.
利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题,一般先把实际问题转化为数学问题，若题中无直角三角形，需要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解直角三角形的知识求解.【例3】(2010·安徽中考)若河岸
的两边平行，河宽为900米，一只
船由河岸的A处沿直线方向开往对
岸的B处，AB与河岸的夹角是60°，
船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分.(参考数据： )【思路点拨】
【自主解答】如图,过点B作BC垂
直河岸,垂足为C,则在Rt△ACB中,
有
= (米),
所以 (分),
即船从A处到B处约需3.4分.8.(2010·湖州中考)河堤横断面如图所
示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比是
(坡比是坡面的铅直高度BC与水平
宽度AC之比)，则AC的长是( )
(A) 米 (B)10米 (C)15米 (D) 米
【解析】选A.∵ ,∴ 米.9.(2011·南通中考)如图，测量河宽
AB(假设河的两岸平行)，在C点测得
∠ACB=30°，在D点测得∠ADB=60°,
又CD=60 m，则河宽AB为 _____m(结果保留根号).【解析】设河宽AB为x m，在Rt△ABC中，
在Rt△ABD中，
由CD=BC-BD，得 ,所以
答案：10.(2011·金华中考)生活经验表明，靠墙摆放的梯子，当50°≤α≤70°时(α为梯子与地面所成的角)，能够使人安全攀爬.现在有一长为6米的梯子AB，试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大高度AC.
(结果保留两个有效数字，sin70°≈0.94,
sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)【解析】当α=70°时，梯子顶端达到最大高度，
∵
∴AC=sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6(米).
答：人安全攀爬梯子时，梯子的顶端达到的最大高度约为5.6米.方位角的应用 方位角是在规定“上北下南，左西右东”的原则下，确定物体的位置的一种方法；方位角往往与解直角三角形的知识联系在一起进行考查，当然有时也与行程问题中的方程联系在一起.【例】(2010·杭州中考)如图，台风中
心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知
台风移动的速度为30千米/时，受影响区
域的半径为200千米，B市位于点P的北偏
东75°方向上，距离点P 320千米处.
(1)说明本次台风会影响B市；
(2)求这次台风影响B市的时间.【思路点拨】 【自主解答】(1)作BH⊥PQ于点H, 在Rt△BHP中,由条件知,
PB=320,∠BPQ=30°,得BH=320×sin30°=160<200,∴本次台
风会影响B市.
(2)如图, 若台风中心移动到P1时, 台风开始影响B市, 台风
中心移动到P2时, 台风影响结束. 由(1)得BH=160千米, 由条
件得BP1=BP2=200千米,所以 (千米),
∴台风影响的时间为 (小时).(2011·济宁中考)日本福岛出现核电站事故后,我国国家海洋局高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估.如图，上午9时，海检船位于A处，观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B处，这时观察到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B处与城市P的距离？(参考数据： ).【解析】过点P作AB的垂线交AB于
C点，由题意知AB=105海里，
∠ACP=∠BCP=90°，设AC=x cm，
则BC=(105-x)cm，
在Rt△APC中， ，
∴
在Rt△BPC中， ∴∴ ，解得x=25，即AC=25，BC=80，
∴
答：此时海检船所在的B处与城市P的距离为100海里.1.(2010·日照中考)如图，在等腰
Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，D是
AC上一点，若 ，则AD的
长为( )
(A)2 (B)
(C) (D)1【解析】选A.过点D作DE⊥AB于点E，在Rt△DBE中，
设DE=x，则BE=5x，又因为在等腰Rt△ABC
中，所以AE=DE=x，所以AB=5x+x=6x，又在等腰Rt△ABC中，
∠C=90°，AC=6，则 ,即 ，所以
2.(2010·宿迁中考)小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了
1 000 m，则他升高了( )
(A) m (B)500 m
(C) m (D)1 000 m
【解析】选A.设高为x，由勾股定理得，
x2+(2x)2=(1000)2,解得3.(2010·济宁中考)在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点1 000 m的C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，然后再沿北偏西20°方向走了500 m到达目的地C,此时小霞在营地A的( )(A)北偏东20°方向上
(B)北偏东30°方向上
(C)北偏东40°方向上
(D)北偏西30°方向上【解析】选Ｃ.设A点正北方向有点E,B点正北方向与AC延长线交于点D,由题意可知AC=1 000 m，BC=500 m，∠EAB=70°，∠DBC=20°，AE∥BD，所以∠ABD＋∠EAB=180°，可得∠ABD=110°，则∠ABC=90°；因AC=2BC，可得∠CAB=30°，所以∠EAC=40°，即小霞在营地A的北偏东40°方向上.故选C.4.(2010·中山中考)如图,已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4, ,则AC=_____.
【解析】由题意可得∠B=∠DAC，则 ，因为 ，所以 ，得AC=5.
答案：55.(2010·深圳中考)如图,一艘海轮位
于灯塔P的东北方向,距离灯塔 海里
的A处,它沿正南方向航行一段时间后,
到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的
B处,则海轮行驶的路程AB为_____海里
(结果保留根号).【解析】在Rt△ACP中， ,在
Rt△BCP中， ,所以AB=AC+BC=40+ (海
里).
答案：6.(2010·中山中考)计算:
【解析】原式=7.(2010·晋江中考)已知：如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB=3.(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；
(2)若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A′，试求图中阴影部分的面积(结果保留π).【解析】(1) 在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，
∴点A的坐标为 设双曲线的解析式为 (k≠0),将
A 代入得 ，所以双曲线的解析式为
(2)在Rt△OBA中，∠AOB=30°,AB=3，
.由题意得：∠AOC=60°， .在Rt△ODC中，∠DOC=45°， ∴
∴Thank you!