北师版数学九下 2.3 确定二次函数的表达式 课件 (共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 北师版数学九下 2.3 确定二次函数的表达式 课件 (共33张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-27 10:17:21 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
第二章 二次函数 2.3
确定二次函数
的表达式
北师大版九年级下册数学课件
目录
目录
CONTENTS
CONTENTS
1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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复习引入
1. 一次函数 y = kx+b (k≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
∴
典例精析
例1 已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点 (2,3)
和 (－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
a=2，
c=－5.
解得
{
关于 y 轴对称
{
特殊条件的二次函数的表达式
探究新知
第二部分
PART 02
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1. 已知二次函数 y＝ax2 ＋ bx 的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
针对训练
图象经过
原点
8=4a-2b，
5=a-b，
∴
解得
∴ y=-x2-6x.
{
{
a= -1,
b= -6.
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x-h)2+k，把顶点（-2，1）代入 y=a(x-h)2+k 得
y = a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1= -8，
解得 a = -1.
∴所求的二次函数的表达式是 y= -(x+2)2+1或y= -x2-4x-3.
顶点法求二次函数的表达式
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
① 设函数表达式为 y=a(x-h)2+k；
② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程；
③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 值；
④ a 用数值换掉，写出函数表达式.
针对训练
2. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1= a(0-8)2+9.
解得
∴所求的二次函数的表达式是
解：∵(-3，0),(-1，0 )是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是 y=a(x-x1)(x-x2).
(其中x1、x2为交点的横坐标.)因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1) = -3，
解得 a= -1，
∴所求抛物线的表达式是 y= -(x+3)(x+1)，
即 y = -x2 -4x -3.
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出过这三点的抛物线的表达式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
交点法求二次函数的表达式
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：
① 设函数表达式是 y = a(x-x1)(x-x2)；
② 先把两交点的横坐标 x1 , x2 代入到表达式中，得到关于 a 的一元一次方程；
③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 值；
④ a 用数值换掉，写出函数表达式.
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.
合作探究
问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c (a≠0) 中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
一般式法求二次函数的表达式
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入 y=ax2+bx+c 得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3）
试求出这个二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c= -3，
解得
a = -1，
b = -4，
c = -3.
∴所求的二次函数的表达式是 y=-x2-4x-3.
待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写表达式）
典例精析
例2 已知二次函数的图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
解: 设所求二次函数的表达式为 y = ax2+bx+c.
∵该图象经过点(－1,10),(1,4)，(2,7)，
a = 2，
∴
10 = a-b+c，
7 = 4a+2b+c，
c = 5.
解得
4 = a+b+c
b = -3，
∴二次函数图像对称轴为直线 ，
顶点坐标为 .
∴所求二次函数表达式为
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
① 设函数表达式为 y = ax2+bx+c；
② 代入后得到一个三元一次方程组；
③ 解方程组得到 a,b,c 的值；
④ 把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
巩固练习
第三部分
PART 03
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针对训练
3. 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10) 三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得 c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
解这个方程组，得
∴所求的二次函数的表达式是
1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .
注 y=ax2 与 y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
注意
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
2
1
-1
3
4
5
2. 过点（2，4），且当 x=1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 .
顶点坐标是（1，6）
y = -2(x-1)2+6
3. 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a-b＋c＝-5，
解得
b＝3，
c＝－4，
a＝2，
4. 已知抛物线与x轴相交于点 A(－1，0)，B(1，0)，且过点 M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与 x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为 y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点 M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得 a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为 y＝－(x＋1)(x－1)，
即 y＝－x2＋1.
5. 综合题：如图，已知二次函数 的图象经过 A(2，0)，B(0，－6) 两点．
(1) 求这个二次函数的表达式；
A
B
C
x
y
O
解:∵该图象经过点（2,0）和(1,－6)，
{
-2+2b+c=0
c=-6
解得
{
b=4
c=-6
∴二次函数的表达式为：
(2) 设该二次函数的对称轴与x轴交于点 C，连接BA，BC，求 △ABC 的积．
A
B
C
x
y
O
解:∵二次函数对称轴为
∴c点坐标为（2，0）.
6.已知一条抛物线经过 E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）
A．E，F
B．E，G
C．E，H
D．F，G
C
7.如果抛物线 y = x2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是3，那么 c 的值等于（ ）
A. 8
B. 14
C. 8或14
D. -8或-14
C
8. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A(－4，－3)，与 y轴交于点 B ，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的表达式；
解：把点A(－4，－3)代入 y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是 y＝x2＋6x＋5.
(2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求 △BCD 的面积．
∵CD∥x 轴，∴点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称．
∵点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，
∴点 C 的横坐标为－7，
∴点 C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点 B 的坐标为(0，5)，
∴△BCD 中 CD 边上的高为12－5＝7，
∴△BCD 的面积＝ ×8×7＝28.
课堂小结
第四部分
PART 04
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①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y = ax2+bx+c
用顶点法：y = a(x-h)2+k
用交点法：y = a(x-x1)(x-x2)
(x1，x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
第二章 二次函数 2.3
确定二次函数
的表达式
北师大版九年级下册数学课件
第二章 二次函数 2.3
确定二次函数
的表达式
北师大版九年级下册数学课件
目录
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CONTENTS
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1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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复习引入
1. 一次函数 y = kx+b (k≠0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
∴
典例精析
例1 已知二次函数 y＝ax2 ＋ c 的图象经过点 (2,3)
和 (－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
a=2，
c=－5.
解得
{
关于 y 轴对称
{
特殊条件的二次函数的表达式
探究新知
第二部分
PART 02
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1. 已知二次函数 y＝ax2 ＋ bx 的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
针对训练
图象经过
原点
8=4a-2b，
5=a-b，
∴
解得
∴ y=-x2-6x.
{
{
a= -1,
b= -6.
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x-h)2+k，把顶点（-2，1）代入 y=a(x-h)2+k 得
y = a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1= -8，
解得 a = -1.
∴所求的二次函数的表达式是 y= -(x+2)2+1或y= -x2-4x-3.
顶点法求二次函数的表达式
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
① 设函数表达式为 y=a(x-h)2+k；
② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程；
③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 值；
④ a 用数值换掉，写出函数表达式.
针对训练
2. 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 1= a(0-8)2+9.
解得
∴所求的二次函数的表达式是
解：∵(-3，0),(-1，0 )是抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是 y=a(x-x1)(x-x2).
(其中x1、x2为交点的横坐标.)因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1) = -3，
解得 a= -1，
∴所求抛物线的表达式是 y= -(x+3)(x+1)，
即 y = -x2 -4x -3.
选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出过这三点的抛物线的表达式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
交点法求二次函数的表达式
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：
① 设函数表达式是 y = a(x-x1)(x-x2)；
② 先把两交点的横坐标 x1 , x2 代入到表达式中，得到关于 a 的一元一次方程；
③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 值；
④ a 用数值换掉，写出函数表达式.
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.
合作探究
问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c (a≠0) 中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
一般式法求二次函数的表达式
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入 y=ax2+bx+c 得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3）
试求出这个二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c= -3，
解得
a = -1，
b = -4，
c = -3.
∴所求的二次函数的表达式是 y=-x2-4x-3.
待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写表达式）
典例精析
例2 已知二次函数的图象经过点(－1,10)，(1,4)，(2,7) 三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
解: 设所求二次函数的表达式为 y = ax2+bx+c.
∵该图象经过点(－1,10),(1,4)，(2,7)，
a = 2，
∴
10 = a-b+c，
7 = 4a+2b+c，
c = 5.
解得
4 = a+b+c
b = -3，
∴二次函数图像对称轴为直线 ，
顶点坐标为 .
∴所求二次函数表达式为
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
① 设函数表达式为 y = ax2+bx+c；
② 代入后得到一个三元一次方程组；
③ 解方程组得到 a,b,c 的值；
④ 把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
巩固练习
第三部分
PART 03
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针对训练
3. 一个二次函数的图象经过 (0, 1)、(2,4)、(3,10) 三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是 y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0, 1)，可得 c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
解这个方程组，得
∴所求的二次函数的表达式是
1. 如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .
注 y=ax2 与 y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
注意
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
2
1
-1
3
4
5
2. 过点（2，4），且当 x=1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 .
顶点坐标是（1，6）
y = -2(x-1)2+6
3. 已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a-b＋c＝-5，
解得
b＝3，
c＝－4，
a＝2，
4. 已知抛物线与x轴相交于点 A(－1，0)，B(1，0)，且过点 M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与 x 轴的交点，所以设二次函数的表达式为 y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点 M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得 a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为 y＝－(x＋1)(x－1)，
即 y＝－x2＋1.
5. 综合题：如图，已知二次函数 的图象经过 A(2，0)，B(0，－6) 两点．
(1) 求这个二次函数的表达式；
A
B
C
x
y
O
解:∵该图象经过点（2,0）和(1,－6)，
{
-2+2b+c=0
c=-6
解得
{
b=4
c=-6
∴二次函数的表达式为：
(2) 设该二次函数的对称轴与x轴交于点 C，连接BA，BC，求 △ABC 的积．
A
B
C
x
y
O
解:∵二次函数对称轴为
∴c点坐标为（2，0）.
6.已知一条抛物线经过 E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（ ）
A．E，F
B．E，G
C．E，H
D．F，G
C
7.如果抛物线 y = x2-6x+c-2 的顶点到 x 轴的距离是3，那么 c 的值等于（ ）
A. 8
B. 14
C. 8或14
D. -8或-14
C
8. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A(－4，－3)，与 y轴交于点 B ，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的表达式；
解：把点A(－4，－3)代入 y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是 y＝x2＋6x＋5.
(2) 若和 x 轴平行的直线与抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求 △BCD 的面积．
∵CD∥x 轴，∴点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称．
∵点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，
∴点 C 的横坐标为－7，
∴点 C 的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点 B 的坐标为(0，5)，
∴△BCD 中 CD 边上的高为12－5＝7，
∴△BCD 的面积＝ ×8×7＝28.
课堂小结
第四部分
PART 04
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①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y = ax2+bx+c
用顶点法：y = a(x-h)2+k
用交点法：y = a(x-x1)(x-x2)
(x1，x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
第二章 二次函数 2.3
确定二次函数
的表达式
北师大版九年级下册数学课件