北师版九下数学-第一章-直角三角形的边角关系-小结与复习（共35张PPT）
文档属性
| 名称 | 北师版九下数学-第一章-直角三角形的边角关系-小结与复习（共35张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-27 10:33:33 | ||
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文档简介
(共35张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系
小结与复习
北师大版九年级下册数学课件
目录
目录
CONTENTS
CONTENTS
1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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一、锐角三角函数
1. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，
a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边．
(1) ∠A的正弦：sinA＝ ＝ ；
(2)∠A的余弦：cosA＝ ＝ ；
(3)∠A的正切：tanA＝ ＝ .
2. 梯子的倾斜程度与 tanA、sinA 和cosA 的关系：
tanA 的值越大，梯子越陡;
sinA 的值越大，梯子越陡;
cosA 的值越小，梯子越陡.
3. 锐角三角函数的增减性：
当角度在 0°～90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ .
增大（或减小）
减小（或增大）
探究新知
第二部分
PART 02
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30°，45°，60°角的三角函数值
锐角α 三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
二、特殊角的三角函数
1. 解直角三角形的依据
(1) 在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边．
三边关系： ；
三角关系： ；
边角关系：sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB＝ ，
tanA＝ ，tanB＝ .
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
三、解直角三角形
(2) 直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素．
解法：① 一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；② 知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③ 斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
1. 利用计算器求三角函数值．
第二步：输入角度值，
屏幕显示结果.
（有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
第一步：按计算器 、 、 键，
sin
tan
cos
四、锐角三角函数的计算
2. 利用计算器求锐角的度数．
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：然后输入函数值
屏幕显示答案（按实际需要进行精确）
°＇″
第一步：按计算器 、 、 键，
sin
cos
tan
SHIFT
1.仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
五、三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角,叫做方向角.如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
2.方向角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
α
l
h
h : l
（1）坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
（2）坡度（或坡比）
坡度通常写成 1∶m 的形式，如 1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比），即 —.
h
l
（3）坡度与坡角的关系
坡度等于坡角的正切值
坡面
水平面
3.坡角
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
(2) 量出测点 A 到物体底部N的水平距离 AN = l；
A
C
M
N
(1) 在测点 A 安置测倾器，测得M的仰角∠MCE = α；
E
(3) 量出测倾器的高度 AC = a，
可求出 MN 的高度.
MN=ME+EN=l·tanα+a
α
1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
六、利用三角函数测高
2.测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
A
C
B
D
M
N
E
α
β
(1) 在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角
∠MCE = α；
(2) 在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此 时 M 的仰角∠MDE = β；
(3) 量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b.根据测量数据，可求出物体 MN 的高度.
考点一 求三角函数的值
例1 在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA＝ ，
则 tanB ＝ ( )
A. B. C. D.
【解析】 根据 sinA ＝ ，可设三角形的两边长分别为 4k，5k，则第三边长为3k，所以 tanB ＝
B
针对训练
1. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则 ∠ABC 的正弦值是________.
2. 用计算器求下列各式的值：
（1）cos63°17′ ≈ ______；
（2）tan27.35° ≈ ______；
（3）sin39°57′6″ ≈ ______．
0.45
0.52
0.64
3. 已知 sinα = 0.2，cosβ = 0.8，则 α+β =________（精确到1′）．
48°24′
考点二 特殊角的三角函数值
【解析】本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值．
解：原式＝
例2 计算
(1) tan30°＋cos45°＋tan60°
(2) tan30°· tan60°＋ cos230°
4. 计算：
针对训练
解：原式
解：原式
考点三 解直角三角形
例3 如图，在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，点 D 在 BC 上，BD ＝ 4，AD ＝ BC，cos∠ADC = ，
求：(1) DC 的长；(2) sinB 的值．
【分析】题中给出了两个直角三角形，DC 和 sinB 可分别在 Rt△ACD 和 Rt△ABC 中求得，由 AD ＝ BC，图中 CD＝BC－BD，由此可列方程求出 CD．
A
B
C
D
解: (1) 设 CD ＝ x，在 Rt△ACD 中，cos∠ADC= ,
又 BC－CD ＝ BD，
解得 x = 6，
∴CD = 6.
A
B
C
D
(2) BC =BD+CD = 4+6 = 10 = AD
在 Rt△ACD 中
在 Rt△ABC 中
A
B
C
D
巩固练习
第三部分
PART 03
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5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ .点D 为 BC 边上一点，且 BD ＝ 2AD，∠ADC ＝ 60°.求 △ABC 的周长(结果保留根号).
针对训练
解：在 Rt△ADC 中，
∴BD＝2AD＝4.
∴BC ＝ BD＋DC＝5.
在 Rt△ABC 中，
∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC
考点四 三角函数的应用
例4 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼 AB 的高度．小刚在 D 处用高 1.5 m 的测角仪 CD，测得教学楼顶端 A 的仰角为30°，然后向教学楼前进 40 m 到达 EF，又测得教学楼顶端 A 的仰角为 60°.求这幢教学楼 AB 的高度．
【分析】 设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，用 AG 表示出 FG，在Rt△ACG 中，用 AG 表示出 CG，然后根据 CG－FG ＝ 40，可求 AG.
G
解：设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，
tan∠AFG ＝ ，∴FG ＝
在 Rt△ACG 中，tan∠ACG ＝ ，
又 CG－FG＝40，
∴AG＝ ，∴AB ＝
答：这幢教学楼 AB 的高度为
∴
G
课堂小结
第四部分
PART 04
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6.如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆 AB ，已知观测点 C 到旗杆的距离（即 CE 的长）为 8 米，测得旗杆顶的仰角 ∠ECA 为 30°，旗杆底部的俯角 ∠ECB 为 45 °，则旗杆 AB 的高度是多少米
C
A
B
D
E
解：如图在 Rt△ACE 和 Rt△BCE 中
∠ACE = 30°，EC = 8米，
∴tan∠ACE = ,tan∠ECB =
即：AE = 8tan30°= （米） ，
EB = 8tan45° = 8（米）.
∴AB = AE+EB = (8+ )米.
针对训练
锐角三角
函数
特殊角的三
角函数
解直角三
角形
简单实际
问题
c
a
b
A
B
C
第一章 直角三角形的边角关系
小结与复习
北师大版九年级下册数学课件
第一章 直角三角形的边角关系
小结与复习
北师大版九年级下册数学课件
目录
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CONTENTS
CONTENTS
1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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一、锐角三角函数
1. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，
a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边．
(1) ∠A的正弦：sinA＝ ＝ ；
(2)∠A的余弦：cosA＝ ＝ ；
(3)∠A的正切：tanA＝ ＝ .
2. 梯子的倾斜程度与 tanA、sinA 和cosA 的关系：
tanA 的值越大，梯子越陡;
sinA 的值越大，梯子越陡;
cosA 的值越小，梯子越陡.
3. 锐角三角函数的增减性：
当角度在 0°～90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ .
增大（或减小）
减小（或增大）
探究新知
第二部分
PART 02
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30°，45°，60°角的三角函数值
锐角α 三角函数 30° 45° 60°
sin α
cos α
tan α
二、特殊角的三角函数
1. 解直角三角形的依据
(1) 在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边．
三边关系： ；
三角关系： ；
边角关系：sinA＝cosB＝ ，cosA＝sinB＝ ，
tanA＝ ，tanB＝ .
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B
三、解直角三角形
(2) 直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素．
解法：① 一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；② 知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③ 斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
1. 利用计算器求三角函数值．
第二步：输入角度值，
屏幕显示结果.
（有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
第一步：按计算器 、 、 键，
sin
tan
cos
四、锐角三角函数的计算
2. 利用计算器求锐角的度数．
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：然后输入函数值
屏幕显示答案（按实际需要进行精确）
°＇″
第一步：按计算器 、 、 键，
sin
cos
tan
SHIFT
1.仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
五、三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角,叫做方向角.如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
2.方向角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
α
l
h
h : l
（1）坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
（2）坡度（或坡比）
坡度通常写成 1∶m 的形式，如 1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比），即 —.
h
l
（3）坡度与坡角的关系
坡度等于坡角的正切值
坡面
水平面
3.坡角
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
(2) 量出测点 A 到物体底部N的水平距离 AN = l；
A
C
M
N
(1) 在测点 A 安置测倾器，测得M的仰角∠MCE = α；
E
(3) 量出测倾器的高度 AC = a，
可求出 MN 的高度.
MN=ME+EN=l·tanα+a
α
1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
六、利用三角函数测高
2.测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
A
C
B
D
M
N
E
α
β
(1) 在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角
∠MCE = α；
(2) 在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此 时 M 的仰角∠MDE = β；
(3) 量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b.根据测量数据，可求出物体 MN 的高度.
考点一 求三角函数的值
例1 在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA＝ ，
则 tanB ＝ ( )
A. B. C. D.
【解析】 根据 sinA ＝ ，可设三角形的两边长分别为 4k，5k，则第三边长为3k，所以 tanB ＝
B
针对训练
1. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则 ∠ABC 的正弦值是________.
2. 用计算器求下列各式的值：
（1）cos63°17′ ≈ ______；
（2）tan27.35° ≈ ______；
（3）sin39°57′6″ ≈ ______．
0.45
0.52
0.64
3. 已知 sinα = 0.2，cosβ = 0.8，则 α+β =________（精确到1′）．
48°24′
考点二 特殊角的三角函数值
【解析】本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值．
解：原式＝
例2 计算
(1) tan30°＋cos45°＋tan60°
(2) tan30°· tan60°＋ cos230°
4. 计算：
针对训练
解：原式
解：原式
考点三 解直角三角形
例3 如图，在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，点 D 在 BC 上，BD ＝ 4，AD ＝ BC，cos∠ADC = ，
求：(1) DC 的长；(2) sinB 的值．
【分析】题中给出了两个直角三角形，DC 和 sinB 可分别在 Rt△ACD 和 Rt△ABC 中求得，由 AD ＝ BC，图中 CD＝BC－BD，由此可列方程求出 CD．
A
B
C
D
解: (1) 设 CD ＝ x，在 Rt△ACD 中，cos∠ADC= ,
又 BC－CD ＝ BD，
解得 x = 6，
∴CD = 6.
A
B
C
D
(2) BC =BD+CD = 4+6 = 10 = AD
在 Rt△ACD 中
在 Rt△ABC 中
A
B
C
D
巩固练习
第三部分
PART 03
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5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ .点D 为 BC 边上一点，且 BD ＝ 2AD，∠ADC ＝ 60°.求 △ABC 的周长(结果保留根号).
针对训练
解：在 Rt△ADC 中，
∴BD＝2AD＝4.
∴BC ＝ BD＋DC＝5.
在 Rt△ABC 中，
∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC
考点四 三角函数的应用
例4 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼 AB 的高度．小刚在 D 处用高 1.5 m 的测角仪 CD，测得教学楼顶端 A 的仰角为30°，然后向教学楼前进 40 m 到达 EF，又测得教学楼顶端 A 的仰角为 60°.求这幢教学楼 AB 的高度．
【分析】 设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，用 AG 表示出 FG，在Rt△ACG 中，用 AG 表示出 CG，然后根据 CG－FG ＝ 40，可求 AG.
G
解：设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，
tan∠AFG ＝ ，∴FG ＝
在 Rt△ACG 中，tan∠ACG ＝ ，
又 CG－FG＝40，
∴AG＝ ，∴AB ＝
答：这幢教学楼 AB 的高度为
∴
G
课堂小结
第四部分
PART 04
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6.如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆 AB ，已知观测点 C 到旗杆的距离（即 CE 的长）为 8 米，测得旗杆顶的仰角 ∠ECA 为 30°，旗杆底部的俯角 ∠ECB 为 45 °，则旗杆 AB 的高度是多少米
C
A
B
D
E
解：如图在 Rt△ACE 和 Rt△BCE 中
∠ACE = 30°，EC = 8米，
∴tan∠ACE = ,tan∠ECB =
即：AE = 8tan30°= （米） ，
EB = 8tan45° = 8（米）.
∴AB = AE+EB = (8+ )米.
针对训练
锐角三角
函数
特殊角的三
角函数
解直角三
角形
简单实际
问题
c
a
b
A
B
C
第一章 直角三角形的边角关系
小结与复习
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