北师版数学九下 1.1.1正切与坡度 课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
第一章 直角三角形的边角关系 1.1第1课时
正切与坡度
北师大版九年级下册数学课件
目录
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CONTENTS
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1-新知导入
2-探究新知
3-巩固练习
4-课堂小结
新知导入
第一部分
PART 01
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智者乐水，仁者乐山
图片欣赏
思考：衡量山“险”与“不险”的标准是什么呢？
陡
陡意味着倾斜程度大！
想一想:你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
铅直高度
水平宽度
A
C
B
相关概念
从梯子的顶端 A 到墙角C 的距离，称为梯子的铅直高度.
从梯子的底端 B 到墙角 C 的距离，称为梯子的水平宽度.
梯子与地面的夹角∠ABC 称为倾斜角.
正弦的定义
探究新知
第二部分
PART 02
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问题1 ：你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
合作探究1
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大——梯子越陡
A
B
（C）
问题2 ：如图，梯子 AB 和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡
当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
甲
乙
问题3 ：如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
当铅直高度与水平宽度的比相等时，梯子一样陡
3 m
6 m
D
E
F
C
2 m
B
4 m
A
问题4 ：你有几种方法比较梯子 AB 和 EF 哪个更陡？
当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡.
3 m
2 m
6 m
5 m
A
B
C
D
E
F
倾斜角越大，梯子越陡.
总结:铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度.
若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离 B1 C1 ,进而无法刻画梯子的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？
A
C1
C2
B2
B1
合作探究2
两个直角三角形相似
(2) 和 有什么关系
(3) 如果改变 B2 在梯子上的位置.
(如 B3C3 )呢
思考：由此你得出什么结论
A
B1
C2
C1
B2
C3
B3
想一想
相等
相似三角形的对应边成比例
(1) Rt△AB1C1 和 Rt△AB2C2 有什么关系
在 Rt△ABC 中,如果锐角 A 确定，那么 ∠A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做 ∠A的正切，记作 tanA，即 .
A
B
C
∠A 的对边
∠A 的邻边
┌
tanA =
归纳总结
结论：tanA 的值越大，
梯子越陡.
∠A的对边
∠A的邻边
定义中的几点说明：
1. 初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一 个锐角.
2. tanA 是一个完整的符号，它表示 ∠A 的正切.但∠BAC的正切表示为：tan∠BAC . ∠1 的正切表示为：tan∠1.
3. tanA 大于零 且没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序： ）.
4. tanA 不表示“tan”乘“A ”.
5. tanA 的大小只与 ∠A 的大小和直角三角形的两边长的比值有关.
A
B
C
┌
锐角 A 的正切值可以等于 1 吗？为什么？可以大于1吗？
对于锐角 A 的每一个确定的值，tanA 都有唯一的确定的值与它对应.
解：可以等于 1 ，此时为等腰直角三角形；
也可以大于 1，甚至可逼近于无穷大.
议一议
例1： 下图表示两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡
解:甲梯中，
β
6 m
乙
8 m
α
5 m
┌
甲
13 m
乙梯中，
∵ tanβ ＞ tanα，∴乙梯更陡.
提示：在生活中，常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度.
典例精析
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AC = 7，BC=5，则 tan A=_____，tan B =_____．
练一练
2. 已知 ∠A，∠B 为锐角，
(1) 若 ∠A = ∠B，则 tanA tanB;
(2) 若 tanA = tanB，则 ∠A ∠B.
=
=
互余两锐角的正切值互为倒数.
3.下图中 ∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D . 指出∠A 和 ∠B 的正切.
(1) tanA =
=
AC
( )
CD
( )
(2) tanB=
=
BC
( )
CD
( )
BC
AD
BD
AC
A
B
C
D
4. 如图，在 Rt△ABC 中，锐角A的对边和邻边同时扩大 100 倍，tanA 的值（ ）
A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍
C. 不变 D. 不能确定
A
B
C
┌
C
正切通常也用来描述山坡的坡度.
坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.
坡度、坡角
例如，有一山坡在水平方向上每前进 100 m
就升高 60 m ，那么山坡的坡度(即 tanα )就是：
坡角：坡面与水平面的夹角 α 称为坡角；
坡度(坡比)：坡面的铅直高度与水平宽度的比称
为坡度(或坡比)，即坡度等于坡角的正切.
100 m
60 m
┌
α
概念学习
例2 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高 BC＝2 米，则斜坡 AB 的长是(　　)米.
B
方法总结：理解坡度的概念是解决与坡度有关的 计算题的关键．
∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6 (米)．
解析：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3，
(米)．
B
C
A
(1) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，
AC = 12，tanA = ( ).
(2) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°,BC = 5,
AB = 13，tanA= ( ),tanB = ( ).
(3) 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，BC = 5，tanA = ，
AC = ( ).
1. 完成下列填空：
2. 如图，在边长为 1 的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 tanA = ( )
A. B. C. D.
D
这个图呢？
3. 如图，P 是 ∠α 的边 OA 上一点，点 P 的坐标为
，则 =__________.
M
记得构造直角三角形哦！
4. 如图，某人从山脚下的点 A 走了 200m 后到达山顶的点 B .已知山顶 B 到山脚下的垂直距离是 55m，求山坡的坡度(结果精确到 0.001 m).
A
B
C
┌
解：
5. 在等腰 △ABC 中，AB = AC = 13， BC = 10 ，求tanB.
提示：过点 A作 AD 垂直于 BC 于点 D.
求锐角三角函数时，勾股定理的运用是很重要的.
A
C
B
┌
D
解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 于点 D，
∴在 Rt△ABD 中，
易知 BD = 5，AD =12.
∴
6. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， AB = 15，tanA = ，
求 AC 和 BC .
4k
┌
A
C
B
15
3k
7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 N 在 BC上，M、N 两点关于对角线 AC 对称，若 DM = 1，求 tan∠ADN的值.
A
D
B
N
M
C
解：由正方形的性质可知，
∠ADN=∠DNC，BC = DC = 4,
∵ M、N 两点关于对角线 AC 对称, ∴ BN = DM = 1.
巩固练习
第三部分
PART 03
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如图，在平面直角坐标系中，P(x,y) 是第一象限内直线 y = -x+6上的点， 点 A(5,0) ，O 是坐标原点，△PAO 的面积为 S .
（1）求 S 与 y 的函数关系式；
（2）当 S = 10 时，求 tan∠PAO 的值.
能力提升
解：(1)过点 P 作 PM⊥OA 于点 M，
M
（2）当 S = 10 时 , 求 tan∠PAO 的值.
解：
又∵点 P 在直线 y = -x+6上，
∴x = 2.
∴ AM = OA-OM = 5-2 = 3.
∴ y = 4.
M
课堂小结
第四部分
PART 04
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正切
定义
坡度
∠A 越大，tanA 越大,
梯子越陡
与梯子倾斜程度的关系
铅直高度
水平宽度
第一章 直角三角形的边角关系 1.1第1课时
正切与坡度
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