(共59张PPT)
第1讲 直线与圆
2025
领航高考风向标
通览主干知识
1.两直线位置关系、距离公式
2.圆的定义与方程
对含参数的圆的一般式方程形式,一定要注意其表示圆的条件.
3.圆锥曲线
知识点 内容
定义 (1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);
(2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|);
(3)抛物线:|MF|=d(d为点M到准线的距离)
若点F在准线l上,点的轨迹是过F且与l垂直的直线
4.圆锥曲线中的几个重要结论
(1)圆锥曲线的中点弦斜率公式
(2)过曲线上点P(x0,y0)的切线方程
过曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上一点P(x0,y0)的切线方程为
微点拨 1.求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的可能性.
2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C);与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0.
链高考1.(2021新高考Ⅱ,3)抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为 ,则p=( )
B
链高考2.(2024全国甲,理12)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )
A.1 B.2
C.4 D.2
C
微点拨 在双曲线的定义中,有两点是缺一不可的:其一,绝对值;其二, 0<2a<|F1F2|.如果满足第二个条件但不满足第一个条件,那么其轨迹只能是双曲线的一支.
链高考3.(2024新高考Ⅰ,12)设双曲线C: =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点.若
|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为 .
解析 如图,由双曲线的对称性不妨设点A为双曲线C与直线AB在第一象限的交点.由题意知,|AF2|=5,2a=|F1A|-|AF2|=13-5=8,∴a=4.
(1)求C的方程;
(2)过点P(4,0)的直线交C于A,B两点,N为线段FP的中点,直线NB交直线MF于点Q.证明:AQ⊥y轴.
考点一 直线的方程及其应用
例1(1)(2024重庆高三检测)已知直线m:(a-2)x+ay-2=0和直线n:x+3ay+1=0,则“a= ”是“m∥n”的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
A
(2)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0, )为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为 .
解析 设PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率kAP=1,直线PB的斜率kBP=- .
如图,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的取值范围为[1,+∞).
当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的变化范围是(-∞,- ].
故斜率的取值范围是(-∞,- ]∪[1,+∞).
延伸探究1
若本例(2)中P(1,0)改为P(-1,0),其他条件不变,求直线l斜率的取值范围.
延伸探究2
若将本例(2)中的点B坐标改为B(2,-1),其他条件不变,求直线l倾斜角的取值范围.
解 设直线PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率kAP=1,直线PB的斜率kBP=-1,当直线l由PB变化到PA的位置时,它的斜率的取值范围是[-1,1].
[对点训练1](2024福建南平模拟)两直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为( )
D
考点二 圆的方程
例2(2022全国乙,理14)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
解析 (方法一)若圆过点(0,0),(4,0),(-1,1),则设圆心为(a1,b1),半径为r1,
∴圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13.
若圆过点(0,0),(4,0),(4,2),则设圆心为(a2,b2),半径为r2,
若圆过点(0,0),(-1,1),(4,2),则设圆心为(a3,b3),半径为r3,
若圆过点(4,0),(-1,1),(4,2),则设圆心为(a4,b4),半径为r4,
(方法二 几何法)设点A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),
规律方法
求圆的方程的两种方法
几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程
代数法 用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数,进而求得圆的方程
[对点训练2](2022全国甲,文14)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为 .
(x-1)2+(y+1)2=5
(方法三)设圆心M(a,1-2a),☉M的半径为r,则
r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,
整理可得-10a+10=0,即a=1.
则圆心M(1,-1),故所求☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
考点三 直线与圆的位置关系(多考向探究预测)
考向1切线问题
例3(1)(2024湖北鄂州模拟)已知点P为直线l:3x-4y+12=0上的一点,过点P作圆C:(x-3)2+(y-2)2=1的切线PM,切点为M,则切线长|PM|的最小值为( )
A
(2)(2022新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .
解析 在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O1(3,4),
由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.
[对点训练3](2024广东韶关二模)过点P(-2,3)作斜率为-2的直线,若光线沿该直线传播经x轴反射后与圆C:(x-3)2+(y-2)2=r2(r>0)相切,则r=( )
D
考向2弦长问题
例4(1)(2024河北石家庄二模)已知圆O1:x2+y2=5与圆O2:x2+y2-2x-4y=0交于A,B两点,则|AB|=( )
C
(2)(2023新高考Ⅱ,15)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为 ”的m的一个值:
.
增分技巧
求解圆的弦长的3种方法
关系 法 根据半径、弦心距、弦长构成的直角三角形,得三者间的关系为r2=d2+ (其中l为弦长,r为圆的半径,d为圆心到直线的距离)
公式 法 根据公式 求解(其中l为弦长,x1,x2为直线与圆相交所得交点的横坐标,k为直线的斜率)
距离 法 联立直线与圆的方程,解方程组求出两交点坐标,用两点间距离公式求解
[对点训练4](2024河南洛阳模拟)已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于M,N两点,若|MN|= ,则|k|=( )
B
考点四 圆与圆的位置关系
例5(多选题)(2024江苏连云港模拟)已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2 =r2(r>0),P,Q分别是圆C1与圆C2上的动点,( )
A.若圆C1与圆C2无公共点,则0
B.当r=5时,两圆公共弦所在直线方程为6x-8y-1=0
C.当r=2时,|PQ|的取值范围为[2,8]
D.当r=3时,过点P作圆C2的两条切线,切点分别为A,B,则∠APB不可能等于
BC
解析 如图,易知圆C1:x2+y2=1的圆心为C1(0,0),半径r1=1;
圆C2:(x-3)2+(y+4)2=r2的圆心为C2(3,-4),半径为r,圆心距|C1C2|=5.
对于A,圆C1与圆C2无公共点,则|C1C2|>r1+r2或|C1C2|<|r-1|,即可得5>r+1或5<|r-1|,解得06,所以A错误;
对于B,当r=5时,公共弦所在直线方程为x2+y2-[(x-3)2+(y+4)2]=1-25,
整理可得6x-8y-1=0,所以B正确;
对于C,当r=2时,|C1C2|>r+1=3,可知两圆外离,|PQ|∈[|C1C2|-3,|C1C2|+3],即|PQ|∈[2,8],所以C正确;
[对点训练5](多选题)已知圆C1:x2+y2=9与圆C2:(x-3)2+(y-4)2=16,下列说法正确的是( )
A.C1与C2的公切线恰有4条
B.C1与C2相交弦的方程为3x+4y-9=0
C.C1与C2相交弦的弦长为
D.若P,Q分别是圆C1,C2上的动点,则|PQ|max=12
BD
本 课 结 束(共31张PPT)
第3讲 直线与圆锥曲线的位置关系
2025
考点一 中点弦问题
C
A
[对点训练1](1)(2024安徽合肥模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0),过C的焦点F且倾斜角为 的直线交C于A,B两点,线段AB的中点为W,|FW|= ,则p=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
(方法二)设线段AB的中点E(x0,y0)(x0,y0>0),
∵|MA|=|NB|,∴点E也是MN的中点.
∵M在x轴正半轴上,N在y轴正半轴上,
∴M(2x0,0),N(0,2y0).
考点二 弦长、面积问题
考点三 切线问题
D
[对点训练3](1)(2024山东临沂模拟)已知抛物线C:x2=4y,过直线l:x+2y=4上的动点P可作C的两条切线,记切点为A,B,则直线AB( )
A.斜率为2 B.斜率为±2
C.恒过点(0,-2) D.恒过点(-1,-2)
D
故直线AB的方程为y+n=(2-n)x,斜率不为定值,故A,B错误,当x=-1时,y=-2,所以直线AB恒过点(-1,-2),C错误,D正确.故选D.
(2)(2024福建福州模拟)设P为圆O:x2+y2=5上任意一点,过点P作椭圆
的两条切线,切点分别为A,B,点O,P到直线AB的距离分别为d1,d2,则d1·d2的值为 .
本 课 结 束(共33张PPT)
第2讲 圆锥曲线的定义、方程与性质
2025
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
例1(1)(2023北京,6)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|=( )
A.7 B.6 C.5 D.4
D
解析 抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,因为点M在C上,由定义知点M到准线x=-2的距离为|MF|,又点M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,故|MF|=4.故选D.
B
[对点训练1](1)(多选题)(2024山东烟台模拟)已知定圆M:(x-1)2+y2=16,点A是圆M所在平面内一定点,点P是圆M上的动点,若线段PA的中垂线交直线PM于点Q,则点Q的轨迹可能为( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
ABD
解析 由题知,M(1,0),半径r=4.
因为Q是线段PA的中垂线上的点,所以|QA|=|PQ|.
①如图,若点A在圆M内部,且不为圆心,则|MA|<4, |QM|+|QA|=|QM|+|QP|=4,所以根据椭圆定义可知点Q轨迹是以M,A为焦点的椭圆,故A正确;
②如图,若点A在圆M外部,则||QA|-|QM||=||PQ|-|QM||=|PM|=4,|MA|>4,所以根据双曲线定义可知点Q轨迹是以M,A为焦点的双曲线,故B正确;
③若点A在圆M上(与点P不重合),则线段PA的中垂线恒过圆心M,即点Q的轨迹为点M.
④若点A为圆M的圆心,即A与M重合时,
Q为半径PM的中点,
所以Q点轨迹是以M为圆心,以2为半径的圆,故D正确;
不存在轨迹为抛物线的可能,故C错误.故选ABD.
D
解析 如图,设双曲线的左焦点为F1,由双曲线定义知,|PF|=2a+|PF1|=|PF1|+2,所以△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2+|PF1|+|AF|,由于2+|AF|
是定值,要使△APF的周长最小, 则|PA|+|PF1|最小,
即P,A,F1三点共线,因为A(0,6 ),F1(-3,0),
考点二 椭圆、双曲线的几何性质(多考向探究预测)
考向1椭圆、双曲线的几何性质
B
(2)(多选题)(2024浙江台州模拟)已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,则下列说法正确的是( )
A.F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0)
B.椭圆的离心率为
C.|PF1|的最小值为1
D.当P是椭圆的短轴端点时,∠F1PF2取到最大值
ACD
[对点训练2](2024湖南长沙一模)已知O为坐标原点,F1(-1,0),F2(1,0),Q(0,3),向量m=(1,-2),动点P满足 ∥m,写出一个a,使得有且只有一个点P同时
满足||PF1|-|PF2||=2a(0考向2离心率问题
D
解析 (方法一)如图,设A(x0,y0),B(0,t),F1(-c,0),F2(c,0).
由对称性不妨设t<0.
增分技巧
求圆锥曲线离心率的值(取值范围)的方法
定义法 根据条件求出a,c,直接利用公式e= 求解
方程法 根据条件得到关于a,b,c的齐次等式(不等式),然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a或a2转化为关于e或e2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e的值(取值范围)
B
解析 如图,连接OA,OB,OP,则OA⊥PA,OB⊥PB.
由切线长定理可知|PA|=|PB|.
易知△PBO≌△PAO.
考点三 抛物线的几何性质
例4(多选题)(2024辽宁大连模拟)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,焦点到准线的距离为2,Q为C上的一个动点,则( )
A.C的焦点坐标为(1,0)
B.若M(3,5),则△QMF周长的最小值为11
C.若M(0,4),则|QM|的最小值为2
D.在x轴上不存在点E,使得∠QEF为钝角
BCD
解析 因为抛物线C的焦点到准线的距离为2,则C:x2=4y,焦点F(0,1),所以A错误;
[对点训练4](2024湖南常德模拟)已知抛物线的方程为x2=4y,过其焦点F的直线与抛物线交于M,N两点,且|MF|=5,O为坐标原点,则△MOF的面积与△NOF的面积之比为( )
D
解析 根据抛物线的对称性,不妨设点M在第一象限.
由题可知,抛物线焦点F(0,1),准线方程为y=-1,过焦点F的直线斜率存在.
设M(x1,y1),N(x2,y2),lMN:y=kx+1,|MF|=y1+1=5,
∴y1=4,x1=4,即M(4,4).
本 课 结 束