2024-2025学年北京市海淀区第一零一中学高三上学期统考三数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区第一○一中学高三上学期统考三
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知命题，则为( )
A. B.
C. D.
2.下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
4.在中，若，则( )
A. B. C. D.
5.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地．”则该人第三天走的路程为( )
A. 里 B. 里 C. 里 D. 里
6.十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图中的故宫角楼的顶部即为十字歇山顶其上部可视为由两个相同的直三棱枓交叠而成的几何体图这两个直三棱柱有一个公共侧面在底面中，若，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知，若点满足，则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，“存在，函数的图象既关于直线对称，又关于点对称”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件：
9.已知双曲线的右焦点为，是双曲线的半焦距，点是圆上一点，线段与双曲线的右支交于点若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
10.函数是定义域为的奇函数，且它的最小正周期是，已知给出下列四个判断：
对于给定的正整数，存在，使得成立；
当时，对于给定的正整数，存在：，使得成立；
当时，函数既有对称轴又有对称中心；
当时，的值只有或．
其中正确判断的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若复数满足则在复平面内，对应的点的坐标是 ．
12.若的展开式的二项式系数和为，则展开式中的系数为 ．
13.有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起；已知第，，台车床加工的零件数分别占总数的，，现任取一个零件，则该零件是次品的概率为 ．
14.已知点在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是 ．
15.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点含端点，，设给出下列四个结论：
平面平面；
存在，，使直线所成的角为；
存在唯一的点，使三棱锥的体积为；
二面角正切值的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数在中，，且．
求的大小；
若，且的面积为，求的周长．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，为棱的中点．

求证：平面；
若，再从条件条件条件中选择若干个作为已知，使四棱锥唯一确定，并求：
直线与平面所成角的正弦值；
点到平面的距离．
条件：二面角的大小为；
条件：
条件：．
18.本小题分
某学校有初中部和高中部两个学部，其中初中部有名学生．为了解全校学生两个月以来的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取了名学生进行问卷调查，将样本中的“初中学生”和“高中学生”按学生的课外阅读时间单位：小时各分为组：，得到初中生组的频率分布直方图图和高中生组的频数分布表表．
表高中生组
分组区间 频数
求高中部的学生人数并估计全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数；
从课外阅读时间不足个小时的样本学生中随机抽取人，记为人中初中生的人数，求的分布列和数学期望；
若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该校高中部抽取名学生进行调查，其中有名学生的阅读时间在的概率为，请直接写出为何值时取得最大值．结论不要求证明
19.本小题分
已知椭圆的短轴长为，离心率．
求椭圆的方程；
设为坐标原点，直线是圆的一条切线，且直线与椭圆交于两点，若平行四边形的顶点恰好在椭圆上，求平行四边形的面积．
20.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若，求证：函数只有一个零点，且；
当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数的最大值．本题可参考数据：
21.本小题分
已知为有穷正整数数列，且，集合若存在，使得，则称为可表数，称集合为可表集．
若，判定，是否为可表数，并说明理由；
若，证明：；
设，若，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

14.
15.
16.解：解：由函数，
因为，可得，
在中，因为，所以，
又因为，所以，所以，解得，
因为，所以．
解：由知，因为的面积为，所以，
在中，由余弦定理得，即，
整理得，所以，
即，所以，
所以的周长为．

17.

连接，交于，连接，
底面是正方形，故是的中点，
又因为为棱的中点，
所以，在中，
而平面平面，
所以平面．
选：
因为四边形是正方形，
所以，
又因为，所以，
因为二面角的大小为，平面平面，所以，
在中，，
所以，
故，
又因为平面，
所以平面，
选：
因为四边形是正方形，
所以，
又因为，所以，
因为二面角的大小为，平面平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为为中点，所以，
所以，
所以，即，
因为平面，
所以平面，
选：
因为四边形是正方形，
所以，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又因为平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为为中点，所以，
在中，，
故，
因为平面，
所以平面，
选同上．
以为原点，为轴建立空间直角坐标系，
则，
故，
令为面的一个法向量，则
令，则，
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，
由知点到平面的距离．


18.名学生中高中生有人，初中生有人，
设高中部的学生人数为，则有，
设名学生中初中生在小时内的人数为，则有，
名学生中高中生在小时内的人数为人，
因此全校学生中课外阅读时间在小时内的总人数估计为：
；
课外阅读时间不足个小时的样本中，
初中学生人数为人，
高中学生人数为人，所以，
因此有，，，
所以的分布列如下：
的数学期望为；
由高中部的学生人数为，
其中阅读时间在的人数为，
所以每个人被抽到内的概率为，
因此，
假设为最大项，则有
解得：，因为，
所以当时，有最大值．

19.解：由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
当圆的切线斜率不存在时，切线方程为 ，
当切线方程为 时，由椭圆的对称性可得 ，
因为 ，所以点 不在椭圆上，不符题意，
当切线方程为 时，由椭圆的对称性可得 ，
因为 ，所以点 不在椭圆上，不符题意，
所以切线的斜率存在，设切线方程为 ，
则 ，所以 ，
联立 ，整理得 ，
故设 ，
则 ，
故 ，
所以线段 的中点坐标为 ，
因为四边形 为平行四边形，
所以 ，
又因为点 在椭圆 上，
所以 ，
将代入得 ，
解得 ，
所以 ，
所以

，
所以 ．

20.函数的定义域为，
，
令，则或，
当，即时，，则，
所以函数在上递增，
当，即时，
或时，，，，
所以函数在上递减，在上递增，
当，即时，
或时，，，，
所以函数在上递减，在上递增，
综上所述，当时，函数的增区间为，
当时，函数的减区间为，增区间为，
当时，函数的减区间为，增区间为；
证明：当时，因为，
所以由知，的极小值为，极大值为，
因为，，
且在上是减函数，
所以至多有一个零点．
又因为
所以，
即由数形结合可得，函数只有一个零点，且；
因为，所以，
所以任意且，
由可知且，
因为函数在上是增函数，在上是减函数，
所以，，
所以，
当时，因为，所以，
所以，
所以的最小值为，
所以使得恒成立的的最大值为．

21.解：是，不是，理由如下：
由题意可知，
当时，有，
显然若时，，
而，
故是可表数，不是可表数；
由题意可知若，即，
设，即使得，
所以，且成立，故，
所以若，则，
即中的元素个数不能超过中的元素，
对于确定的，中最多有个元素，
所以；
由题意可设，使，
又，
所以，即，
而，
即当时，取时，为可表数，
因为，
由三进制的基本事实可知，对任意的，存在，
使，
所以
，
令，则有，
设，
由的任意性，对任意的，
都有，
又因为，所以对于任意的，为可表数，
综上，可知的最小值为，其中满足，
又当时，，
所以的最小值为．

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