2024-2025学年广东省汕头市澄海区高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省汕头市澄海区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.等轴双曲线的中心在原点，且一个焦点为，则它的实轴长为( )
A. B. C. D.
4.已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，则的解集为( )
A. ， B. ，
C. D.
6.已知双曲线的渐近线与圆相切，则的值是( )
A. B. C. D.
7.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点，分别是，的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆：上存在两点，关于直线对称若椭圆离心率为，则的中点坐标为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间中四点，，，，则( )
A. B. C. D. 为锐角
10.已知圆：，点，下列说法正确的是( )
A. 点在圆外
B. 点是直线上的定点
C. 已知点，则过点作圆的最短弦长为
D. 过点作圆：的切线，则的方程为
11.如图，已知正方体棱长为，点为的中点，点为底面上的动点，则( )
A. 在方向上的投影向量的长度为
B. 满足平面的点的轨迹长度为
C. 满足的点的轨迹长度为
D. 以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，则 ______．
13.写出一个与直线：，：，：都相切的圆的标准方程______．
14.已知抛物线：，则的焦点坐标为______；若过上一动点作圆：的两条切线，切点分别为，，若四边形面积的最小值是，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
直线经过两直线：和：的交点．
若直线与直线平行，求直线的方程；
若直线与直线垂直，求直线与坐标轴围成的三角形周长．
16.本小题分
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均为不低于分的整数分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值及样本成绩的第百分位数；
求样本成绩的众数和平均数；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差．
17.本小题分
如图，四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是正三角形，侧面面，是的中点．
求证：平面；
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求角；
若，的面积为，求．
19.本小题分
已知双曲线：过点，一条渐近线方程为．
求双曲线的标准方程；
若点为双曲线左支上一点，，求的最小值；
过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由题意联立，解得，
即直线过点，
设与直线平行的直线的方程为，，
将点代入可得，解得，
所以直线的方程为：；
由直线：，由题意设直线的方程为，
将点代入可得：，可得，
即直线的方程为，
令，可得，令，可得，
即直线在，轴上的交点分别为，，
所以，又，，
所以直线与坐标轴围成的三角形周长为．
16.解：根据题意可得：，解得；
因为前四组的频率和为，
前五组的频率和为，
显然第百分位数在内，
所以第百分位数为；
由，得样本成绩的众数为；
成绩落在内的频率为，
成绩落在内的频率为，
故中位数在内，由，得样本成绩的中位数为，
由．
得样本成绩的平均数为；
由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，
所以，
总方差为．
17.解：证明：由平面平面，平面平面，
底面是边长为的正方形，则，平面，
可知面，平面，
所以，因为为正三角形，为中点，可得，，，平面，
所以平面；
取的中点为，连接，侧面是正三角形，则，
平面平面，平面平面，平面，
可知平面，
设中点为，连接，以为坐标原点，以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，
设与平面所成角为，
，
故B与平面所成角的正弦值为．
18.解：因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以，
因为，所以；
因为，所以，
又，所以，，
所以，
所以，
由正弦定理，可得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，，
所以．
19.解：因为双曲线过点，一条渐近线方程为，
所以，
解得，
则双曲线的标准方程为；
因为点为双曲线左支上一点，
设，，
因为，
所以
，
因为，，
则最小值为；
证明：当过点的直线斜率不存在时，
直线方程为，
取，，
此时；
当过点的直线斜率存在时，
设直线方程为，，，，，
联立，消去并整理得，
因为直线过双曲线的右焦点，
所以，
解得或，
由韦达定理得，
所以
．
综上所述，为定值．
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