2024-2025学年内蒙古赤峰市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年内蒙古赤峰市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.一组数据，，，，，，，的第百分位数是( )
A. B. C. D.
3.平行直线：与：之间的距离为( )
A. B. C. D.
4.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )
A. 里 B. 里 C. 里 D. 里
5.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6.已知圆：和：，若动圆与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为，则的方程为( )
A. B. C. D.
7.过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于点，，若，若直线的斜率为，则
( )
A. B. C. 或 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各个，从中不放回的依次取出个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是白球”，事件“第二次取出的是白球”，事件“取出的两球不同色”，则( )
A. B. 与互斥 C. 与相互独立 D. 与互为对立
9.已知曲线，则( )
A. 当时，曲线是椭圆
B. 当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线
C. 存在实数，使得过点
D. 当时，直线总与曲线相交
10.已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线，分别切圆于点，则下列说法正确的是( )
A. 四边形的面积最小值为
B. 为圆上一动点，则最小值为
C. 最短时，弦直线方程为
D. 最短时，弦长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知复数，则 ______．
12.已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为______．
13.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，依次构成的数列的第项，则的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知中角，，的对边分别为，，，．
求；
若，且的面积为，求周长．
15.本小题分
在等差数列中，，，数列的前项和为，且．
求数列和的通项公式；
若，求数列的前项和．
16.本小题分
某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图已知调查评分在中的市民有人．
心理测评评价标准
调查评分
心理等级
求的值及频率分布直方图中的值；
该地区主管部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数调查评分
在抽取的心理等级为的市民中，按照调查评分的分组，分为层，通过分层随机抽样抽取人进行心理疏导据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，调查评分在的市民的心理等级转为的概率为，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率；
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点．
证明：平面；
若，，
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
“曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“曲线”与，轴的交点，为线段的中点．
若等边的重心坐标为，求“曲线”的方程；
设是“曲线”的半椭圆上任意的一点求证：当取得最小值时，在点，或处；
作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，，求线段中点的轨迹方程．
参考答案
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14.解：，
在中，由正弦定理得，即，
，，
，
，
又，则，
，解得；
，且的面积为，
，解得，
又，
，
，
故的周长为．
15.解：设等差数列的公差为，
则由，可得：，，
解得，，
所以；
又因为，
所以令得：，即，
而当时，，
所以当时，，
即当时，，
所以数列为等比数列且．
因为，
所以，
所以，
两式相减可得：，
即，
所以．
16.解：易知调查评分在中的市民有人，
而评分在中的频率为，
所以，
而，
解得；
市民心理健康调查评分的平均值，
则市民心理健康指数平均值为，
所以只需发放心理指导资料，不需要举办心理健康大讲堂；
因为评分在中的人数是评分在中人数的一半，
若通过分层随机抽样抽取人进行心理疏导，
此时评分在内的有人，在内的有人，
记“在抽取的人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为”为事件，
因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，
所以，
则在抽取的人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为的概率为．
17.证明：取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
解：，，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又平面，，又，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，
为棱的中点，
，，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，，
，
平面的一个法向量为，
，，
二面角的余弦值为；
假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则，，
由知平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离是，
，．
18.解：因为等边的重心坐标为，
所以．
在半椭圆中，
由，
可得，，
因此“曲线”的方程为，．
证明：设，则，．
因为，开口向下，
对称轴为：，
所以当或时，
取得最小值时，即在点，或处．
由题可知，直线的斜率，则设直线，，
设在上，
当时，，解得，所以．
设在半椭圆上，
当，时，．
的中点为，
即线段中点的轨迹方程为：．
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