2024-2025学年山东省潍坊市安丘市青云学府高二（上）期末数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年山东省潍坊市安丘市青云学府高二（上）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线经过两个定点，，则直线倾斜角大小是( )
A. B. C. D.
2.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
3.若直线：与：平行，则与之间的距离为( )
A. B. C. D.
4.若，是异面直线，则下列结论一定正确的是( )
A. 存在与，都平行的直线 B. 存在与，都垂直的平面
C. 存在过且与垂直的平面 D. 存在过且与平行的平面
5.已知圆与圆外切，则( )
A. B. C. D.
6.现有个人计划在暑期前往江西省的南昌、九江、赣州、萍乡四个城市旅游，每人都要从这四个城市中选择一个城市，且每个城市都有人选择，则至少有人选择南昌的选法种数为( )
A. B. C. D.
7.的展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线分别交双曲线的两条渐近线于点，若点是线段的中点，且，则此双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论正确的有( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则
10.已知圆：，直线：，则( )
A. 直线恒过定点
B. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于
C. 直线与圆有两个交点
D. 圆与圆恰有三条公切线
11.已知抛物线：的焦点为，其准线与轴交于点，过上一点作的垂线，垂足为，若四边形为矩形，则( )
A. 准线的方程为 B. 矩形为正方形
C. 点的坐标为 D. 点到原点的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与直线：垂直的直线的方程是______．
13.已知双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为______．
14.已知抛物线：的焦点到其准线的距离为，圆：，过的直线与抛物线和圆从上到下依次交于，，，四点，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
，若的展开式中第项与第项的二项式系数相等．
求的值；
求的系数；
求的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，．
求证：平面平面；
若，，分别为，的中点，求证：平面平面．
17.本小题分
已知椭圆的左、右顶点分别为、，点是上一点，且直线与直线的斜率之积为．
求的方程及其长轴长；
若圆的切线与交于、两点，求的最大值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
若平面与平面的夹角的正弦值为，
求长；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知圆：与双曲线：只有两个交点，过圆上一点的切线与双曲线交于，两点，与轴交于点当与重合时，．
求双曲线的方程；
若直线的斜率为，求；
当时，求的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则，解得，所以．
由知，的展开式中项为：，所以．
由知，的展开式中，
当时，，
因为，，，，，，，，，，，
所以，
当时，，
所以．
16.【答案】证明：因为，，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
延长交于，
因为，分别为，中点，
所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，所以，
又为中点，所以，
因为，
所以≌，所以，
又，所以为中点，所以，
又平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面．
17.【答案】解：因为点是上一点，且直线与直线的斜率之积为，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为，其长轴长为；
当轴时，
此时，的横坐标为或，
解得，
所以；
当不垂直轴时，
设切线的方程为，，，
此时圆心到切线的距离，
即得，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以
，
设，，
可得
，
所以．
综上所述，的最大值为．
18.【答案】解：证明：在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，
，是的中点，作交于点，
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
设，则．
，
，．
，且，，平面．
由线面垂直的判定定理得平面．
设平面的法向量为，，
，令，得，
设平面的法向量，
，令，得，
设平面与平面的夹角为，
平面与平面的夹角的正弦值为，
则，
，，，
解得舍去负值，长为．
由知，
由线面角定义得是直线与平面所成角的一个平面角，
在直角中，由题意得，
又由题意得，与互为余角，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
19.【答案】解：根据圆方程与双曲线只有两个交点可知：，
又因为双曲线过点，因此，解得，
因此的标准方程为：．
如图：
由于直线的斜率为，且直线与直线垂直，因此直线的斜率为，
设直线的方程为：，所以，
根据，
设，那么的方程为：，
代入双曲线，可得：，
化简得：，
设，，根据韦达定理可得，，
因此，
因此，
如果，也可得，
综上所述：．
设直线的方程为，根据，可得，
设点在第二象限，由于，所以的两个端点为，，
所以，由于，
因此，，
将代入双曲线，可得：，
化简得：，
设，，根据韦达定理可得，，
由于，因此，
因此，
因此，
又因为，
因此，
由于，因此，
所以的最小值为．
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