2024-2025学年陕西省西安市临潼区高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市临潼区高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，，，，，，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则动点的轨迹是( )
A. 一条射线 B. 双曲线右支 C. 双曲线 D. 双曲线左支
3.已知数列满足，其前项和为，则( )
A. B. C. D.
4.已知数列为递增的等差数列，若，，则的公差为( )
A. B. C. D.
5.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关现有一货物堆，从上向下查，第一层有个货物，第二层比第一层多个，第三层比第二层多个，以此类推，记第层货物的个数为，则( )
A. B. C. D.
7.记等比数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
8.设数列的前项和为，若，且，的等差中项为，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是( )
A. 若，则单调递增 B. 若，则单调递增
C. 可能为等差数列 D. 可能为等比数列
10.已知点在圆：的外部，则的值可能为( )
A. B. C. D.
11.如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为，且，则( )
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线：与直线：平行，则 ______．
13.若数列满足，则 ______．
14.如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，水面下降后，水面宽度为______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
当为何值时，方程表示下列曲线：
圆；
椭圆；
双曲线．
16.本小题分
设数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，，，平面，B.
证明：．
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知直线经过椭圆的右顶点和上顶点．
求椭圆的标准方程及离心率；
与直线平行的直线交于，两点均不与的顶点重合，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．
19.本小题分
对于数列，称为数列的一阶差分数列，其中对于正整数，称为数列的阶差分数列，其中已知数列满足，，，数列满足，．
求数列，的通项公式；
若数列的前项和为，证明：．
参考答案
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14.
15.解：因为方程表示圆，
所以，解得；
因为方程表示椭圆，
所以，解得且，
所以的范围为；
因为方程表示双曲线，
所以，解得或，
所以的范围为．
16.解：因为，，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以；
，
则数列的前项和
．
17.解：证明：因为平面，平面，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以；
由知，平面，平面，所以，
以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，，
所以，
设平面的法向量为，则，，
所以，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，则，，
所以，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，
则．
18.解：因为直线经过椭圆的右顶点和上顶点，
所以，，
则椭圆的标准方程为，
因为，
所以椭圆的离心率为；
证明：由知直线的斜率为，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，，
所以，
因为，
又，
所以，
所以．
故为定值．
19.解：数列满足，，，可得，且，
即有，即，
则，对也成立；
数列满足，，即为，
可得，即，即，
则，即有；
证明：，
则，
，
两式相减可得
，
化为，
由，可得．
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