2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，满足，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知函数在区间上是严格增函数，则，的取值可以是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是下列结论中正确的是( )
A. 当，时，二氧化碳处于液态
B. 当，时，二氧化碳处于气态
C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态
4.已知非空集合，设集合且，且分别用、、表示集合、、中元素的个数，则下列说法不正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则可能为 D. 若，则不可能为
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.是第______象限角．
6.已知，是正实数，那么“”是“”的______条件填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”．
7.偶函数的定义域是，则 ______．
8. ______．
9.，则的值是______．
10.不等式组无实数解，则的取值范围是______．
11.函数十，其中，则其值域为______．
12.若函数的反函数是，则 ______．
13.， ______．
14.已知是定义在上的奇函数，且对任意，，若都有成立，则关于的不等式的解为 ．
15.设定义在上的函数的值域为，若集合为有限集，且对任意，，存在，使得，则满足条件的集合的个数为______．
16.对于定义域为的函数，设关于的方程，对任意的实数总有有限个根，记根的个数为，给出下列命题：
存在函数满足：，且有最小值；
设，若，则；
若，则为单调函数；
设，则．
其中所有正确命题的序号为 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
18.本小题分
已知表示不超过的最大整数，例如，若，那么．
方程的解集为，求集合．
利用的结果，若，且，则求的取值范围．
19.本小题分
汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法如图所示将报警时间划分为段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、，当车速为米秒，且时，通过大数据统计分析得到如表其中系数随地面湿滑程度等路面情况而变化，．
阶段 、准备 、人的反应 、系统反应 、制动
时间 秒 秒
距离 米 米
请写出报警距离米与车速米秒之间的函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间精确到秒；
若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，则汽车的行驶速度应限制在多少米秒以下？合多少千米小时？
20.本小题分
已知定义在上的函数是偶函数．
求的值；
解不等式；
设函数，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数的图像绕着原点旋转角后，与原来图像重合，则称函数为角旋转周期函数．
判断奇函数是否是角旋转周期函数，若是，求出；若不是，说明理由；
若是角旋转周期函数，判断以下四个点，哪个点可能在的图像上；
若是角旋转周期函数且上的点除原点外必不在的图像上，求所有满足要求的可用三角比或具体数值表示．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.三
6.充要
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：由已知，两边平方得．
因为，所以．
由立方和公式．
18.解：表示不超过的最大整数，
由题意得：，，
，
集合．
由，
当时，，
，
，解得；
当时，，不符合题意；
当时，，，
，解得或，
综上，的取值范围为
19.解：根据题意，
，
即，，；
当时，
秒，
当且仅当，即时等号成立，
即汽车撞上固定障碍物的最短时间为秒．
依题意，若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于米，
则路况最糟糕时也需满足，
即时，，
即，又，
解得，
即汽车的行驶速度应限制在米秒以下，合千米小时．
20.解：根据题意，因为是偶函数．
所以，可得：，
所以，所以，
可得，又因为不恒为，所以，所以．
根据函数，可得，
所以，整理得：，令，那么有，
解得或，所以或，
所以原不等式的解集是．
函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在上的最小值是，只需函数在时的函数值大于等于，
因为，那么函数，
根据，可得，
当时，不等式恒成立；
当时，，所以，
化简得，
因为，当且仅当，所以时等号成立，
所以，所以的取值范围是．
21.解：是，因为奇函数关于原点成中心对称，所以．
如果将每个点旋转，那么旋转次得到，，，，，，
以上的点构成正六边形都有两种取值，因此不可能在的图像上；
同理，也不可能在的图像上；
点旋转得到的正六边形每个顶点和原点连线作为终边的角分别是
，，，，，，没有两点的横坐标相同，因此可能在函数的图像上．
和第二问类似，可以将点绕原点旋转次，每次旋转，这样旋转后为正十二边形，
若正十二边形有两个顶点关于轴对称，所以这样的点必然不能在函数的图像上，
反之若没有任何两个顶点关于轴对称，那么这样的点可能会在函数的图像上．
设正十二边形所对应的十二个角为，
当或时会出现上述关于轴的对称顶点．因此当起始点位于或的终边上时，那么会出现关于轴对称的两个顶点，
因此这里后两种情况可用表示

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