2024-2025学年四川省眉山市眉山中学高二（上）期末数学试卷(含答案）

2024-2025学年四川省眉山中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
2.是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则( )
A. 或 B. C. D. 或
3.已知点，，，若，，三点共线，则，的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
4.在不超过的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知事件，互斥，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知点，，直线的斜率为，直线的斜率为，若，则点的轨迹为不包含，两点的( )
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线
7.如图，已知在平行六面体中，，且，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知点为双曲线右支上一点，，分别为双曲线的左右焦点，且，为三角形的内心，若成立，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.中国有很多谚语，如“人多计谋广，柴多火焰高”、“三个臭皮匠，顶个诸葛亮”，“一个篱笆三个桩，一个好汉三个帮”等等都能体现团队协作、集体智慧的强大假设某人能力较强，他独自一人解决某个项目的概率为同时，有由个水平相当的人组成的团队也在研究该项目，团队成员各自独立解决该项目的概率都是如果这个人组成的团队解决该项目的概率为，且，则的取值可能是参考数据：，
A. B. C. D.
10.设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率可以为( )
A. B. C. D.
11.在棱长为的正方体中，为的中点，为平面上的一动点，则下列选项正确的是( )
A. 二面角 的平面角的正切值为
B. 三棱锥 体积为
C. 以点 为球心作一个半径为 的球，则该球被平面 所截的圆面的面积为
D. 线段 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是抛物线：的焦点，为抛物线上一点若，则点的横坐标为______．
13.小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有道题，小耿有道题不会，小吴有道题不会，小耿与小吴分别从这道题中任意选取道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有人会答的概率为______．
14.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为，，第二次选拔，甲、乙、丙三人合格的概率依次为，，．
求第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格的概率；
分别求出甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格的概率；
求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率．
16.本小题分
已知圆：．
若直线经过点，且与圆相切，求直线的方程；
若圆：与圆相切，求实数的值．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，，的中点．
求证：平面；
若四面体的体积为，求；
若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
18.本小题分
已知椭圆，短轴长为，且经过点过左焦点的直线交于，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，分别为，的中点．
求椭圆的标准方程；
证明：直线过定点，并求定点坐标；
设为直线与直线的交点，求面积的最小值．
参考答案
1.
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14.
15.解：第一次选拔后甲、乙两人中只有甲合格，
分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件、；
这两个事件是相互独立事件，
设表示第一次选拔后甲合格、乙不合格，
则．
分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格为事件、、，
则，
，
．
设表示经过前后两次选拔后，恰有一人合格，
则

16.解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆相切，符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则，解得，所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
圆的方程可化为．
若圆与圆外切，则，解得；
若圆与圆内切，则，解得，
综上，或．
17.解：证明：的中点为，则．
．
，则≌，
，即．
，，平面，平面，
平面．
，．
，
，
解得．
若四面体的体积为，则；
过作轴垂直平面，以，方向分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，
设平面法向量为，
由，得，
取，得，
设与平面所成角为，
则
，
，
，
直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
18.解：因为椭圆的短轴长为，且经过点，
所以，
解得，
则椭圆的标准方程为；
证明：易知直线斜率存在且不为，
设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
此时，
因为点为线段的中点，
所以，
因为，
同理得，
所以，
所以，
整理得，
此时直线过定点，
当时，取，，
则直线过定点；
当时，取，，
则直线过定点，
综上，直线过定点；
因为点，分别为，的中点，
此时
，
由知，
同理得，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
则面积的最小值为．
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