2024-2025学年新疆乌鲁木齐二十三中、八中等校高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年新疆乌鲁木齐二十三中、八中等校高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，，，，，，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
3.已知圆的方程为，则下列选项不正确的是( )
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
4.已知空间向量，，若与垂直，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆：与双曲线：的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.设是公差为的等差数列，是其前项和，且，，则( )
A. B. C. D.
7.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球第层有个球，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若直线经过第一、二、四象限，则点在第三象限
B. 直线过定点
C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为
D. 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为
10.已知是等比数列的前项和，且，则下列说法正确的是( )
A.
B. 中任意奇数项的值始终大于任意偶数项的值
C. 的最大项为，最小项为
D.
11.已知为抛物线：的顶点，直线交抛物线于，两点，过点，分别向准线作垂线，垂足分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 若直线过焦点，则以为直径的圆与轴相切
B. 若直线过焦点，则
C. 若，两点的纵坐标之积为，则直线过定点
D. 若，则直线恒过点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列的前项和为，则______．
13.如图所示，已知四棱柱是底面边长为的正四棱柱若点到平面的距离为，则正四棱柱的高为______．
14.已知直线：与直线：相交于点，动点，在圆：上，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上．
求圆的方程；
圆与圆：相交于，两点，求两圆的公共弦的直线方程．
16.本小题分
在如图所示的多面体中，四边形为菱形，在梯形中，，，，平面平面．
证明：平面；
若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成角的余弦值．
17.本小题分
已知直线：与抛物线：恒有两个交点．
求的取值范围；
当时，直线过抛物线的焦点，求此时线段的长度．
18.本小题分
已知数列的前项和为．
求证：数列是等差数列；
设的前项和为；
求；
若对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，面积最大值为．
求椭圆的方程；
过轴上一点的直线与椭圆交于，两点，过分别作直线：的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标．
参考答案
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15.解：经过点与点的直线方程为．
由题意可得，圆心在直线上，
由，解得圆心坐标为，
故圆的半径为．
则圆的方程为；
圆的方程为
即，
圆：，
两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为．
16.解：证明：平面平面，，平面，平面平面，
平面，又平面，
，
四边形为菱形，
，
又，，平面，
平面；
设，由可知，平面，则直线在面内的射影为，
故直线与平面所成的角为，
，和均为边长为的等边三角形，
以为原点，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
由平面，可得平面的法向量为，
而，，，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：方法一：因为直线：，
所以直线恒过定点，
又直线与抛物线恒有两个交点，将定点代入抛物线方程，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
方法二将直线与抛物线方程联立，得，
得，
因为直线与抛物线恒有两个交点，
所以判别式对恒成立，
所以需要使得方程的判别式，
又，
所以，
所以的取值范围为．
由题，当时，直线的方程为，即，
令得，
由直线过焦点得，
所以抛物线的方程为，
将直线与抛物线的方程联立，，
得，
令，，
由韦达定理可得，
又因为经过抛物线焦点，
所以．
18.证明：
因为，
所以，
则，
即，
因为，
所以数列是首项为，公差为的等差数列；
由得，，
所以，
则，
则，
，
两式相减得，
，
所以，
若对任意的正整数，不等式恒成立，
则，
所以恒成立，
令，
则，
所以为递减数列，
故时，取得最大值，
所以，
故的范围为
19.解：不妨设椭圆半焦距为，
因为椭圆的离心率为，
所以，
易知当为短轴端点时，面积最大，
所以，
解得，
又，
联立，
解得，，，
则椭圆的方程为；
证明：不妨设直线与轴交于点，
此时，
当直线的斜率为时，不符合题意；
当的斜率不存在时，
此时直线的方程为，
因为四边形为矩形，
所以，交于线段的中点，
当直线的斜率存在且不为时，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
不妨设，，
此时，，
联立，，
解得，
因为，在直线上，
所以，，
此时，
将代入直线的方程中，
解得
．
综上，直线、交于定点．
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