2024-2025学年云南省昆明市高二（上）期末数学试卷（二）（含答案）

2024-2025学年云南省昆明市高二（上）期末数学试卷（二）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.如果直线与直线垂直，那么的值为( )
A. B. C. D.
3.已知下列命题
已知向量，则；
已知向量，则；
已知向量共线，则与共线；
已知，是平面内的两条相交直线若，，则．
其中正确的命题的个数为( )
A. B. C. D.
4.图是年在陕西宝鸡贾村出口的一口“何尊”西周青铜酒器，其高约厘米，器口直径约厘米何尊内底铭文中出现了“宅兹中国”四字图，这是已知“中国”一词最早的文字记载，其形状可视为一个圆柱和一个圆台构成的组合体，圆柱的上底面与圆台的上底面完全重合，圆柱的高和底面直径分别约为厘米，厘米，则该组合体的体积约为( )
A.
B.
C.
D.
5.早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在论音乐中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.若，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列描述中正确的是( )
A. 函数的图象关于点成中心对称
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的单调增区间为，
D. 函数的图象没有对称轴
10.下列结论错误的是( )
A. 已知为一个数列，那么对任意正整数，均有
B. 对于任意实数、，一定存在实数，使得为、的等比中项
C. 若数列的前项和，则一定是等差数列
D. 若数列是等差数列，则数列一定是等比数列．
11.如图，在棱长为正方体中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 无论点在上怎么移动，都有
B. 点到平面的距离为
C. 当点移动至中点时，直线与平面所成角最大且为
D. 无论点在上怎么移动，异面直线与所成角都不可能是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是关于的实系数方程的一个复数根，则 ______．
13.有且仅有语文、数学、英语、物理科老师布置了作业，同一时刻名学生都在做作业，则这名学生做作业的可能情况有______种
14.既要金山银山，又要绿水青山，说明了既要发展经济，又要保护环境，两者兼得，社会才能又快又好的发展现某风景区在践行这一理念下，计划在如图所示的以为直径的半圆形山林中设计一条休闲小道与，不重合，，相距米，在紧邻休闲小道的两侧及圆弧上进行绿化，设，则绿化带的总长度的最大值约为______米参考数据：，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某区政府组织了以“不忘初心，牢记使命”为主题的教育活动，为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取名，获得了他们一周参与主题教育活动时间单位：的频率分布直方图如图所示，已知参与主题教育活动时间在内的人数为．
求的值；
以每组数据所在区间的中点值作为本组的代表，估算这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数中位数精确到．
如果计划对参与主题教育活动时间在内的党员干部给予奖励，且在，内的分别评为二等奖和一等奖，那么按照分层随机抽样的方法从获得一、二等奖的党员干部中选取人参加社区义务宣讲活动，再从这人中随机抽取人作为主宣讲人，求这人均是二等奖的概率．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若，的面积为，求，．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，点是棱的中点，且．
Ⅰ记平面与平面的交线为，证明：直线平面；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦．
18.本小题分
已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且经过点．
求的方程；
设与轴的正半轴交于点，直线：与交于、两点不经过点，且证明：直线经过定点，并求出该定点的坐标．
19.本小题分
已知函数．
Ⅰ求在区间上的最大值和最小值；
Ⅱ若是函数的极值点．
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)讨论在区间上的零点个数．
参考答案
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15.解：由已知可得，．
则，得．
由图可知，，
，
可知中位数在区间内，
设中位数为，
则，得，
则这些党员干部参与主题教育活动时间的中位数约为．
按照分层随机抽样的方法从内选取的人数为，
从内选取的人数为．
记二等奖的人分别为，，，，一等奖的人为，
事件为“从这人中抽取人作为主宣讲人，且这人均是二等奖”．
从这人中随机抽取人，有，，，，，，，，，，共种情况，
其中人均是二等奖的情况有，，，，，，共种，
由古典概型的概率计算公式得．
16.解：因为，
则由正弦定理可得，，
因为，
则，
即，
所以，
因为，
所以，
所以，故，
因为，，
所以，即；
，
所以，
又由余弦定理，，即，
所以，所以，
所以．
17.Ⅰ证明：四边形是正方形，，
平面，平面，平面，
又平面，平面平面，
，
平面，平面，
平面．
Ⅱ解：四边形是正方形，平面，且、平面，
、、两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方形的边长为，，
则，，，，
是线段的中点，，
，，，
，，解得，
，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：由题意，设椭圆，焦距为，
则，椭圆的另一个焦点为，
由椭圆定义得，则，
，
的方程；
证明：由已知得，
由，得，
当时，，，
则，，
，，
由得，，即，
，解得或，
当时，直线经过点，舍去；
当时，显然有，直线经过定点．
19.解：Ⅰ，，取，得到，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
又，，，
故在区间上的最大值为，最小值为．
Ⅱ证明：，，，故，
设，函数单调递增，，．
根据零点存在定理知．
，，，
设，，
当时，，故，单调递增，，
故函数单调递减，，
故函数在上无零点；
当时，，
设，，
设，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在上单调递减，，，，
故存在使，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
，故F，，故函数在上有个零点．
综上所述：在区间上的零点个数为．
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