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【押题密卷】2025年中考数学（盐城卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
1.2025是蛇年，寓意着“蛇”么都有，则2025的相反数的绝对值是
B.—2025 C. 2026 D.2024
2.等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为
A．或 B．或 C． D．
3．“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为
A． B．
C． D．
4．如图，是的直径，弦于点E，，，则．
A．5 B．4 C．3 D．2
5．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是
A． B．
C． D．
6．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，它的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．且，则下列结论不正确的是
A． B．图象的顶点坐标D为(1，-4)
C．当或时，函数值 D．当时，随的增大而增大
7．如图，边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
8．如图1．中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ．
10．若有意义，则实数a的取值范围是 ．
11．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 ．
12．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则 ，
13．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为 ．
14．如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是 ．
15．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含k的式子表示的值是 ．
16．如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ．
解答题：本题共11小题，共102分。请将答案填写在答题卡上。
17.计算：
18．已知关于x的方程．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为，若，求m的值．
19.如图，矩形，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，G为中点，连接．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
20.如图，在4×4的正方形网格中，已知A，B，C都在格点上．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，画出线段AB的垂直平分线；
（2）在图2中，在BC上作点P，使．
21．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？
22．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点与点，连结．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
（3）利用图象，直接写出关于的不等式的解集．
23．如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．若，，，求：的长．
24.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，∠BCP＝∠A．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若CA＝CP，⊙O的半径为2，求CP的长．
25.实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，（为整数，且）这n个整数中任取（）个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
（1）探究一：
①从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数 1，2 1，3， 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
②从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2个整数 1，2 1，3， 1，4 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 5 6 7
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
③从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．
④从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．
（2）探究二：
①从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．
②从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
（3）探究三：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．
（4）归纳结论：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取（）个整数，这个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．
（5）问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 ▲ 种不同的优惠金额．
（6）拓展延伸：
①从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
②从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取（）个整数，这个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．
26.根据背景素材，探索解决问题．
生活中的数学——自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪
背景素材 数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处．
丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立⊙O半径为OD的扇形平面图（图3）.
问题解决
任务1 获取数据 丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点．
问题1 求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2 获取数据 丁小组测树叶F距水平地面最低高度米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在OD上，OD⊥EF．
问题2 求OE的长．
任务3 问题3 丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过240°，求：①这个喷头最多可洒水多少平方米？②在①条件下，此时DD'的长．
27.有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA=OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2﹣1．若AB=CD=110cm，∠AOC=120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
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【押题密卷】2025年中考数学（盐城卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。
4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
1.2025是蛇年，寓意着“蛇”么都有，则2025的相反数的绝对值是
B.—2025 C. 2026 D.2024
【答案】A
【解析】本题考察的有理数的相反数与绝对值
2.等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为
A．或 B．或 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：
（x-3）(x-7)=0，
解得x1=3 x2=7，
当等腰三角形的三边长是3，3，7时，
由3+3＜7， 则不符合三角形三边关系，故舍去；
当等腰三角形的三边长是3，7，7时，这个三角形的周长为3+7+7=17.
故答案为：C .
3．“孔子周游列国”是流传很广的故事.有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时里，则可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设学生步行的速度为每小时里，则孔子坐牛车的速度为每小时里，
由题意得，，
故答案为：A.
【分析】设学生步行的速度为每小时x里，则孔子做牛车的速度为每小时1.5x里，由题意可得学生步行所用的时间为，孔子坐牛车所用的时间为，然后根据学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，且孔子和学生们同时到达书院就可列出方程.
4．如图，是的直径，弦于点E，，，则．
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
5．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：点，，
与关于轴对称，故选项A，B不符合题意；
，，
当时，随的增大而增大，故选项C符合题意，选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】由点，，的坐标，即可得到与关于轴对称；且时，随的减小而增大，即可解题．
6．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，它的图象与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为．且，则下列结论不正确的是
A． B．图象的顶点坐标D为(1，-4)
C．当或时，函数值 D．当时，随的增大而增大
【答案】D
7．如图，边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，，分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为
B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如下图，延长，交于点，，
∵边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合，
∴图中阴影部分的面积．
故答案为：C．
【分析】延长，交于点，，根据边长为2的正方形的中心与半径为2的的圆心重合可得：，再利用圆和正方形的面积公式进行计算可求出答案．
8．如图1．中，，，．点D从点A出发沿折线运动到点B停止，过点D作，垂足为E．设点D运动的路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ）
A．54 B．52 C．50 D．48
【答案】B
【解析】【解答】解，，，在Rt△ABC中，
，
①当时，点在边上，如图所示，
，，
，
，
，
，
，
∴，
，
当时，，
，
②当时，点在边上，如图所示，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，，
，
，
故选：B.
【分析】本题先根据勾股定理：求出AB，再分类讨论，当，根据，根据对应边成比例，列出比例式 ：，求出DE和EB，然后根据三角形面积公式，求出y即可，当时，同理先证，再根据对应边成比例，列出比例式 ：，求出DE，BE，然后根据三角形面积公式，求出y即可.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9．一组数据的平均数为5，方差为16，n是正整数，则另一组数据的标准差是 ．
【答案】12
若有意义，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得a-2≥0，
解之：a≥2.
故答案为：a≥2.
【分析】利用二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，可得到关于a的不等式，然后求出不等式的解集.
某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于 ．
【答案】0.6
【解析】【解答】解：由题意可知P是V的的反比例函数，
设（k≠0），
∴k=3×8000=24000，
∴，
∵p≤40000， 气球不爆炸
∴，
解之：V≥0.6，
∴ 气球的体积应不小于0.6
故答案为：0.6
【分析】由题意可知P是V的的反比例函数，结合已知条件可求出P与V的函数解析式，再根据p≥40000，可得到关于V的不等式，然后求出不等式的最小值即可.
12．如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点，作射线，交于点，过点作于点．若，，则 ，
【答案】6
【解析】【解答】解：由题意，是的平分线
∵是边上的高，，
∴，
∴
∴，
故答案为：6．
【分析】根据尺规作图的步骤，判断出BP是的平分线，再由角平分线的性质及题中线段之间的数量关系，即可计算出AM的长.
13．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数的图象上，则a的值为 ．
【答案】2或3
【解析】【解答】解：设平移后点A，B对应的点为C，D，
根据题意，得OA=OB=5，
∴A（-5，0），B（0，5），
∴C（-5+a，-a），D（a，5-a），
∵C，D在函数的图象上，
∴-a（-5+a）=6
解得：a1=2，a2=3，
故答案为：2或3.
【分析】设平移后点A，B对应的点为C，D，根据题意得A，B的坐标，然后利用坐标的平移规律得点C，D的坐标，接下来根据反比例函数上点的坐标特征得关于a的方程，解方程求出a的值即可.
14．如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形ABC；分别以点A，B，C为圆心，以AB的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为3π，则它的面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由题意可得“莱洛三角形”的周长可转化为半径为AB圆心角为180°的弧长，
又∵该“莱洛三角形”的周长为3π，
∴，
解得AB=3，
过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC是等边三角形，
∴BM=BC=，
在Rt△ABM中，，
∴该“莱洛三角形”的面积为：.
故答案为：.
【分析】由题意可得“莱洛三角形”的周长可转化为半径为AB圆心角为180°的弧长，据此结合弧长公式建立方程可求出AB的长；过点A作AM⊥BC于点M，根据等边三角形的性质可得BM=BC=，在Rt△ABM中，由勾股定理算出AM的长，进而根据该“莱洛三角形”的面积=半径为AB且圆心角为180°的扇形得面积-2S△ABC，列式计算可得答案.
15．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含k的式子表示的值是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点E作交于点，如图所示，
设，设，
四边形PQMN是正方形
在和中，，
由题意可知，
正方形的面积，
正方形的面积
；
故答案为：.
【分析】过点E作EG⊥AN交AN于点G，设MN=a，设EG=1，根据正方形的性质和等腰三角形的判定得EG=MG，证明，利用相似三角形对应边成比例，表示出AG，MN的长度，最后利用勾股定理表示出正方形ABCD和MNPQ的面积，解即可．
16．如图，已知两条平行线、，点是上的定点，于点，点、分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点，于点，则当最大时，的值为 ．
【答案】
【解析】【解答】
解：∵ACIBD，
∴四边形ACBD是平行四边形
∴AE=BE=AB
由题意知：AB为定长
∴BE为定长
∵
∴点H在以BE为直径的圆上运动
∴当AH与⊙O相切时，∠BAH最大
∴∠AHO=90°
∵AE=BE=2r
∴AO=3r
∴
故答案为：.
【分析】先根据已知条件，得出：四边形ACBD是平行四边形，根据平形四边形得出AE=BE，再根据定角定弦模型，得出，点H在以BE为直径的圆上运动，当AH与⊙O相切时，∠BAH最大，根据切线的性质，得出∠AHO=90°，从而求出
解答题：本题共11小题，共102分。请将答案填写在答题卡上。
计算：
【答案】解：
．
【解析】【分析】先利用绝对值、0指数幂、负指数幂和特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
18．已知关于x的方程．
（1）求证：此方程有两个不相等的实数根；
（2）设此方程的两个根分别为，若，求m的值．
【答案】（1）证明：根据题意可知：，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
∴，
解得
【解析】【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案.
（2）利用根与系数的关系可得，即可求出答案.
（1）证明：根据题意可知：，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由题意得：
∴，
解得
19.如图，矩形，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，G为中点，连接．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵，四边形是矩形，
∴
∵，G为中点，
∴.
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行得AB∥DE，结合BE∥AC，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABEC是平行四边形，进而根据平行四边形的对边相等即可得出结论；
（2）根据矩形的对角线相等、四个角都是直角及勾股定理得出AC的长度，结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得GF的长．
20.如图，在4×4的正方形网格中，已知A，B，C都在格点上．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，画出线段AB的垂直平分线；
（2）在图2中，在BC上作点P，使．
【答案】（1）解：如答图1，直线l即为所求；
（2）解：如答图2，点P即为所求
【解析】【分析】（1）任意找第二列中两个小正方形的对角线交点，连接这两个交点即可；（2）本题考查构造线段垂直平分线的方法，如图所示，先找线段AB中点：连接最后一行从左边数第二个小正方形的对角线，与AB交于点D，在连接DE，交线段BC于点P，即为所求点。
21．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？
【答案】所围矩形猪舍的长为、宽为．
22．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点与点，连结．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式．
（2）求的面积．
（3）利用图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1），
（2）
（3）或
23．如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．若，，，求：的长．
【答案】
24.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是AB延长线上一点，∠BCP＝∠A．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若CA＝CP，⊙O的半径为2，求CP的长．
【答案】（1）证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠PCB=∠A，
∴∠ACO=∠PCB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵CP=CA，
∴∠P=∠A，
∴∠COB=2∠A=2∠P，
∵∠OCP=90°，
∴∠P=30°，
∵OC=OA=2，
∴OP=2OC=4，
∴PC= =2 ．
【解析】【分析】(1)欲证明PC是⊙O的切线，只要证明OC⊥PC即可；(2)想办法证明∠P=30°即可解决问题．
25.实际问题：
某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？
问题建模：
从1，2，3，…，（为整数，且）这n个整数中任取（）个整数，这个整数之和共有多少种不同的结果？
模型探究：
我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．
（1）探究一：
①从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表①
所取的2个整数 1，2 1，3， 2，3
2个整数之和 3 4 5
如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．
②从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？
表②
所取的2个整数 1，2 1，3， 1，4 2，3 2，4 3，4
2个整数之和 3 4 5 5 6 7
如表②，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．
③从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．
④从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．
（2）探究二：
①从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．
②从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有 种不同的结果．
（3）探究三：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．
（4）归纳结论：
从1，2，3，…，（为整数，且）这个整数中任取（）个整数，这个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．
（5）问题解决：
从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有 ▲ 种不同的优惠金额．
（6）拓展延伸：
①从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）
②从3，4，5，…，（为整数，且）这个整数中任取（）个整数，这个整数之和共有 ▲ 种不同的结果．
【答案】（1）7；（，n为整数）
（2）4；
（3）
（4）（n为整数，且，）
（5）476
（6）①29个或7个；②
26.根据背景素材，探索解决问题．
生活中的数学——自动旋转式洒水喷头如何灌溉草坪
背景素材 数学来源于生活，九4班分四个小组，开展数学项目式实践活动，获取所有数据共享，对草坪喷水管建立数学模型．草坪装有1个自动旋转式洒水喷头，灌溉园林草坪．如图1所示，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒．
甲小组在图2中建立合适的直角坐标系，喷水口中心O有一喷水管OA，从A点向外喷水，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A（喷水口）在y轴上，x轴上的点D为水柱的最外落水点． 乙小组在甲小组基础上，测量得距洒水喷头水平距离较远若干米的E处，正上方有一树枝叶F，旋转式喷洒水柱外端刚好碰到树叶F的最低处．
丙小组在甲小组基础上，测量得喷水口中心O到水柱的最外落水点D距离为半径，建立⊙O半径为OD的扇形平面图（图3）.
问题解决
任务1 获取数据 丁小组测量得喷头的高米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，经过点．
问题1 求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2 获取数据 丁小组测树叶F距水平地面最低高度米，点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，E在OD上，OD⊥EF．
问题2 求OE的长．
任务3 问题3 丁小组观察自动旋转式洒水喷头可顺、逆时针往返喷洒，可平面旋转角度不超过240°，求： ①这个喷头最多可洒水多少平方米？ ②在①条件下，此时DD'的长．
【答案】解：任务1由题意得抛物线过点D（8，0），（7，），A（0，），
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∴，解得，
∴水柱所在抛物线的函数解析式为
任务2∵水柱所在抛物线的函数解析式为
当时，，解得x或6，
∵点F在抛物线上且离水喷头水平距离较远，
∴F（6，），∵E在OD上，OD⊥EF．
∴E（6，0），∴OE＝6，∴OE的长为6米；
任务3①由题意得OD＝8米，
∴这个喷头最多可洒水的面积为：π（平方米），
答：这个喷头最多可洒水π平方米；
②过点O作OH⊥DD'于H，
由题意得OD＝OD'＝8米，∠DOD'＝360°﹣240°＝120°，
∵OD＝OD'＝8米，OH⊥DD'，
∴DH＝D'HDD'，∠DOH∠DOD'＝60°，
∴∠ODH＝30°，
∴OHOD＝4米，DHOH＝4米，
∴DD'＝2DH＝8米．
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
任务2：利用（1）结论，求出时x值，即得F（6，），则E（6，0），即可得解；
任务3：①根据扇形的面积公式即可求解；
②过点O作OH⊥DD'于H， 根据垂径定理、等腰三角形及直接三角形的性质解答即可.
27.有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度．图2是这种升降熨烫台的平面示意图．AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA=OC，h（cm）表示熨烫台的高度．
（1）如图2﹣1．若AB=CD=110cm，∠AOC=120°，求h的值；
（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图2﹣2）．求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1cm）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6．）
【答案】（1）解：过点B作BE⊥AC于E，
∵OA=OC，∠AOC=120°，
∴∠OAC=∠OCA==30°，
∴h=BE=AB sin30°=110×=55；
（2）解：过点B作BE⊥AC于E，
∵OA=OC，∠AOC=74°，
∴∠OAC=∠OCA==53°，
∴AB=BE÷sin53°=120÷0.8=150（cm），
即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150cm．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠OAC=∠OCA==30°， 再求解即可；
（2）根据题意先求出 ∠OAC=∠OCA==53°， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
