(共17张PPT)
3.1.3 课时2
组合数的应用
第三章 排列、组合与二项式定理
1.能够运用排列、组合知识解决相关问题.
一、有限制条件的组合问题
例1 高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？
常见的限制条件及解题方法
(1)特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
(2)含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．
(3)分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．
方法归纳
二、不同元素的分组、分配问题
例2 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法
(1)分成3份，1份1本，1份2本，1份3本;
(2)甲、乙、丙3人中，1人得1本，1人得2本，1人得3本;
(3)平均分成3份，每份2本;
(4)平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本;
(5)分成3份，1份4本，另外2份每份1本;
无序不均匀分组问题
有序不均匀分组问题
无序均匀分组问题
有序均匀分组问题
无序部分均匀分组问题
解：(1)首先选1本，有 种方法，然后从余下的5本中选2本，有种方法，最后余下3本全选，有种方法，
故共有 (种)分配方法.
(2)因为甲、乙、丙是不同的3人，所以在第(1)问的基础上再分配给3人，
故共有 (种)分配方法.
(3)先分三步，则应有 种方法，
但出现了三个位置上的重复，故共有 (种)分配方法.
(4)第(3)问的基础上再分配给3人，故共有 (种)分配方法.
(5)先分三步，则应有 种方法，
但出现了两个位置上的重复，故共有 (种)分配方法.
(6)甲、乙、丙3人中，1人得4本，另外2人每人得1本;
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本;
(8)甲、乙、丙3人中，每人至少得1本.
(6)第 (5)问的基础上再分配给3人，故共有 (种)分配方法.
(7)甲选1本，有种方法，乙从余下的5本中选1本，有 种方法，
最后余下4本留给丙，有种方法，
故共有 (种)分配方法.
(8)每人至少得1本，可以有，， 三种情况，
即中的三种情况，故共有 (种)分配方法.
有序部分均匀分组问题
直接分配问题
1.分配问题有两类，一是将物直接分配给人，即直接分配问题；二是先分组再将组分配给人，即间接分配.
(1)直接分配问题主要是明确分配的数量，即具体到具体人的数量，例如甲得2本书，乙得3本书，此类问题主要是应用组合知识进行直接求解.
(2)间接分配问题一般是未明确分配的数量，即不知道具体分配的数量，例如甲、乙、丙其中1人得一本书，1人得2本书，1人得3本书，此类问题一般是先分组再将组全排列分配给人.
方法归纳
2.分组问题分为平均分、部分平均分、均未平均分三类题型.
平均分就是明确数量问题，直接应用组合即可解决；
部分平均分若有个组平均分，则需除以 !；
若均未平均分，则不需要除以任何数值，即为组合数即可.
方法归纳
三、相同元素的分组、分配问题
例3 将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中.
(1)若每个盒子至少有一个球，则一共有多少种放法？
(2)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？
解：(1)把20个球摆好，在中间的19个空隙中选择4个放入隔板，
所以共有 (种)放法.
(2)先在编号为1，2，3，4，5的五个盒子中依次放入0，1，2，3，4个球，
再保证余下的10个球每个盒子至少放1个，把10个球摆好，
在中间9个空隙中选择4个放入隔板，所以共有 （种）放法.
隔板法
方法归纳
应用隔板法常用的条件是：
一是解决相同元素的分配问题；
二是可以转化为“至少有一个”的问题.
四、排列、组合的综合应用
例4 某学校举办运动会，径赛类共设100米、200米、400米、800米、1500米5个项目，田赛类共设铅球、跳高、跳远、三级跳远4个项目.现甲、乙两名学生均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数为 .
解析：若甲、乙相同的参赛项目为径赛类项目，则有 (种)选法，他们再分别从田赛类项目中各选一个(互不相同)，有 (种)选法，
此时满足题意的选法有 (种).
若甲、乙相同的参赛项目为田赛类项目，则有· (种)选法，
综上所述甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数为 .
140
任务：回答下列问题，巩固本课知识.
1.不同元素的分配问题的解题思路是什么？
2.隔板法解题一般用于什么情况？
1.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
2.四名志愿者到3个小区开展防诈骗宣传活动，向社区居民普及防诈骗、反诈骗的知识．每名志愿者只去1个小区，每个小区至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有 （用数字作答）.
C
36
3.“中国梦”的英文翻译为“”，其中又可以简写为 ，从“
”中取6个不同的字母排成一排，则含有“ ”这个字母组合（相邻且顺序不变）的不同排法共有( )
A.20 B.15 C.12 D.10
B(共20张PPT)
3.1.3 课时1
组合与组合数的概念与性质
第三章 排列、组合与二项式定理
1.理解组合和组合数的概念，会区分排列与组合问题.
2.掌握组合数公式，会利用公式解决一些简单组合问题.
3.掌握组合数的两个性质.
高考不分文理科后，思想整理、历史、地理、物理、化学、生物这6科是选考的，考生可以从中任选3科作为自己的高考科目，那么选考的组合方式一共有多少种可能得情况呢？
问题1：设3所学校分别为A，B，C，列举出来下述问题所有的选择方式.
(1)小张要在3所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
(2)小张要在3所大学中选择2所，作为自己努力的目标，小张共有多少种不同的选择方式？
(2)的所有情况：
(A，B)
(A，C)
(B，C)
(1)的所有情况：
(A，B)，(B，A)，
(A，C)，(C，A)，
(B，C)，(C，B).
两问的结果不同，区别在哪里？联系又在哪？
(1)的所有情况：
(A，B)，(B，A)，
(A，C)，(C，A)，
(B，C)，(C，B).
(2)的所有情况：
(A，B)
(A，C)
(B，C)
区别:前者选出的学校是要排列顺序的，而后者选出的学校不需要排列顺序.
联系:
相对于(2)，(1)也可以看作分成两步完成：
所以 ，即：(2)的方法数 .
第一步，从3所学校中任取2所学校，即完成问题2，设有x种方法；
根据分步乘法计数原理：方法数为
第二步，将选出的2所学校全排列，排列数为
组合与组合数
1.组合：一般地，从n个不同对象中取出个对象并成一组，称为从 个不同对象中取出 个对象的一个组合.
练习：判断下列问题是排列问题，还是组合问题．
(1)10个人相互各写一封信，共写了多少封信？
(2)从1，2，3， ，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(3)从1，2，3， ，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？
有顺序，是排列问题
选出的3个数的顺序不同，则组成的数不同，是排列问题.
选出的三个数字相加求和，与三个数的顺序无关，是组合问题.
注意：排列和组合的关系
相同点
两者都是从n个对象中取出m（m≤n）个对象
不同点
排列问题中对象有顺序，组合问题中对象没有顺序
组合与组合数
2.组合数：从个不同对象中取出个对象的所有组合的个数，称为从 个不同对象中取出 个对象的组合数，用符号表示.
即从3个不同对象中取出2个对象的组合数表示为
从4个不同对象中取出3个对象的组合数表示为
例如，小张要在3所大学中选择2所，共有 种选择方式.
问题2：仿照求出 的过程，在一般情况下，组合数 该怎样计算？
解：考虑从n个不同对象中取出m个做排列，可以分成两个步骤来完成：
第一步，从n个不同对象中取出m个，有 种选法；
第二步，将选出的m个对象做全排列，有 种排法.
由分步乘法计数原理有 ,所以
组合数公式.
规定： (注意0！=1).
组合数公式
(1)（连乘形式)
(2)当m=1时， ；
(3)当m=n时， .
特殊组合数：
(1)当m=0时， (注意0！=1)；
(2) (阶乘形式)
解：根据组合数计算公式可得：
例1 计算：（1） ：（2） ；（3） ；（4） .
观察这两组结果，你有什么发现？
在例题中，我们发现 与 ， 与 都是相同的数.
与 与 与
它们的上标之和等于下标
取出m个元素
剩下的n-m个元素
表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数
表示从n个不同元素中取出n-m个元素的组合数
组合数的性质
性质1：.
性质2：.
例2 已知，则 _______.
解析：因为，所以 ，
所以
.
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例3 某冰淇淋店至少需要准备 种不同口味的冰淇淋，才能满足其广告所称“任选2种不同口味的冰淇淋的组合数超过100”.若来店里的顾客从这 种冰淇淋中任选1种或2种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法有多少种？
解：依题意有，可得，
所以 .
若来店里的顾客从这15种冰淇淋中任选1种或2种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法共有 （种）.
1.下列四个问题中属于组合问题的是( )
A.从4名志愿者中选出2名分别参加导游和翻译的工作
B.从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字组成一个三位数
C.从某班40名学生中选5名组成学习小组
D.老师在排座位时，将甲、乙两人安排为同桌
C
2.( )
A.15 B.30 C.35 D.42
3.已知=，则可能取值为( )
A．4 B．4 C．6或7 D．5或7
B
D
