2024-2025学年江西省吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省吉安市高二上学期期末教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.椭圆的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
3.直线与之间的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线与双曲线的离心率相同，则( )
A. B. C. D.
5.圆与圆的公切线条数为( )
A. B. C. D.
6.如图，正四面体中，，分别为，中点，为线段上一动点，设，则( )
A. B. C. D.
7.春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从，，，四部影片中选一部去观看已知每部影片都有人选，且小明没有选影片，则所有不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的值属于区间时，直线和所成角为，则的最大值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点在抛物线上，且，其中为抛物线的焦点，则( )
A. 抛物线的准线为
B. 点的坐标为
C.
D. 过点作轴于点，则的面积为
10.已知展开式中二项式系数之和为，则( )
A. B. 展开式的各项系数之和是
C. 展开式中第项的二项式系数最大 D. 展开式中常数项为
11.已知点，，且点在直线上，下列说法正确的是( )
A. 的最大值为
B. 若线段与直线有交点，则
C. 当时，存在点，使得
D. 当时，周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知空间向量，满足，则 ．
13.已知过，，三点，则的面积为 ．
14.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过点作轴的垂线与双曲线在第一象限交于点，为坐标原点，若，且，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
现有，，，，这五个数字，回答下列两个问题．
用这个数字能够组成多少个无重复数字的五位数
用这个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数
16.本小题分
已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程
已知直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，求直线的斜率．
17.本小题分
已知的圆心在轴上，且经过点和
求的标准方程
过点的直线与交于，两点．
若，求直线的方程
求弦最短时直线的方程．
18.本小题分
在长方体中，侧面为正方形，，为线段不包含端点上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题．
若，求的长度
求点到平面距离的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线的渐近线方程为，双曲线的右顶点为，左顶点为，过点的直线与双曲线的右支交于，两点．
若的斜率存在，求出斜率的取值范围
探究：是否为定值，若是，求出该定值若不是，说明理由其中，分别表示直线，的斜率
若直线，交于点，且，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：先排数字，只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，
再排四个非数字有种，由分步乘法计数原理得，
能组成个无重复数字的五位数．
当个位数字为时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
当个位数字为或时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，
即可以组成个无重复数字的五位偶数．
16.解：由题意，得解得
椭圆的标准方程为．
设，，直线．
联立消去得，
故，
故，即，
，解得．
17.解：设圆心为，由题意可得，解得，
圆的半径为，
因此，的标准方程为．
由可知，点在内部，
当时，圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，
此时，直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或
当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值，
，，
此时，直线的方程为，即．
18.解：以为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
由得，
故，解得，故AE．
由可得，
设平面的一个法向量为，则，令，
则，，可得平面的一个法向量为，
故点到平面的距离，
令，则，
所以点到平面距离的取值范围为
19.解：由的渐近线方程为可得，
易知直线的斜率不为，设，，直线的方程为，
联立
得，
则
解得，
再由斜率存在以及可，得的取值范围为
依题意，，，由韦达定理可知，，，
于是，
因此
．
由可知，，设直线与直线的方程分别为，，
联立两直线方程可得交点的坐标为，
故．
，当且仅当时等号成立，
故实数的取值范围为．

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