2024-2025学年山东省烟台市高二上学期期末学业水平诊断数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年山东省烟台市高二上学期期末学业水平诊断数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 264.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-24 23:24:15 | ||
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文档简介
2024-2025学年山东省烟台市高二上学期期末学业水平诊断数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若一数列的前项分别为，，，，则该数列的通项公式可能为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆一个焦点的坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，，则平行四边形的周长为( )
A. B. C. D.
5.某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如下图所示已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度即集装箱最高点距地面的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
6.设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如，已知数列满足，，，则( )
A. B. C. D.
7.若过点的直线与双曲线相交于，两点，且，关于直线对称，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式
恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则( )
A. 当时，该曲线为椭圆
B. 当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线
C. 当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线
D. 无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线
10.已知数列的前项和为，且满足，则( )
A. B. C. 为递减数列 D.
11.已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 点到直线的距离的最小值为
C. 点到直线与到直线的距离之和的最小值为
D. 若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ．
13.己知为等比数列的前项和，且，，则的值为 ．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过左焦点且斜率为的直线与交于，两点，，则椭圆离心率的值为 当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知公差不为的等差数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且
求抛物线的标准方程
过点的直线与抛物线交于，两点，且，求．
17.本小题分
已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为．
求椭圆的方程
设椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点异于，．
(ⅰ)若的面积为，求直线的方程
(ⅱ)若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，且过点．
求双曲线的标准方程
过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于，两点异于顶点，
(ⅰ)证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标
(ⅱ)对于(ⅰ)中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且，，．
求数列的通项公式
令，数列的前项和为，是否存在正整数，，使得，，成等差数列若存在，求出，的值，若不存在，说明理由
记，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以．
整理得，又数列的公差为，所以．
又，所以，
即，
联立上述两个方程，解得，，所以．
，
，
．
两式相减得
，
所以
16.解：设点，则，所以．
将代入，可得，
所以抛物线的标准方程为
抛物线的焦点，设直线的方程为，，，
因为，所以．
联立，得，
所以，即，
又，所以，解得．
所以．
17.解：由题意可知，，，所以．
又，
所以椭圆的方程为
设过点的直线方程为，点，，
联立得，
则，，
则．
又因为点到直线的距离．
令，解得，
所以，直线的方程为．
因为直线，直线，
所以．
因为，所以，
即，解得，所以点在直线上．
18.解：由题意，．
将点代入双曲线方程得，解得，．
所以，双曲线的方程为
设点，，直线方程为，
联立方程得，
所以，，
，．
设，则
，
即对任意恒成立．
所以，，，
解得，
所以，以为直径的圆恒过点．
．
由题意可知，代入双曲线方程可得，
设的中点为，则
，
所以，所以又，所以，，，四点共圆．
由相交弦定理得
19.解：当时，，
两式相减得，即．
累乘得．
经检验也符合上式，所以．
因为，所以，
所以，
假设存在正整数，，使得，，成等差数列，
则即，即，
显然是的正约数，又因为，所以，所以或，
当，即时，，
当，即时，．
所以，存在正整数，，使得，，成等差数列，
此时，或，．
由题意知，，
当时，，不等式成立．
当，因为，
所以．
因为，所以，，
所以时，，
综上，，即．
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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若一数列的前项分别为，，，，则该数列的通项公式可能为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆一个焦点的坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，，则平行四边形的周长为( )
A. B. C. D.
5.某隧道的垂直剖面图近似为一抛物线，如下图所示已知隧道高为，宽为，隧道内设置两条车道，且隧道内行车不准跨过中间的实线若载有集装箱的货车要经过此隧道，货车宽度为，集装箱宽度与货车宽度相同，则货车高度即集装箱最高点距地面的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
6.设和分别表示正实数的整数部分、小数部分，例如，已知数列满足，，，则( )
A. B. C. D.
7.若过点的直线与双曲线相交于，两点，且，关于直线对称，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知等差数列的前项和，数列的前项和为，且，若不等式
恒成立，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则( )
A. 当时，该曲线为椭圆
B. 当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线
C. 当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线
D. 无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线
10.已知数列的前项和为，且满足，则( )
A. B. C. 为递减数列 D.
11.已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有( )
A. 若，则
B. 点到直线的距离的最小值为
C. 点到直线与到直线的距离之和的最小值为
D. 若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ．
13.己知为等比数列的前项和，且，，则的值为 ．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过左焦点且斜率为的直线与交于，两点，，则椭圆离心率的值为 当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知公差不为的等差数列的前项和为，且满足，．
求数列的通项公式
若，求数列的前项和．
16.本小题分
已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且
求抛物线的标准方程
过点的直线与抛物线交于，两点，且，求．
17.本小题分
已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为．
求椭圆的方程
设椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线与椭圆交于，两点异于，．
(ⅰ)若的面积为，求直线的方程
(ⅱ)若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上
18.本小题分
已知双曲线的离心率为，且过点．
求双曲线的标准方程
过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于，两点异于顶点，
(ⅰ)证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标
(ⅱ)对于(ⅰ)中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且，，．
求数列的通项公式
令，数列的前项和为，是否存在正整数，，使得，，成等差数列若存在，求出，的值，若不存在，说明理由
记，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以．
整理得，又数列的公差为，所以．
又，所以，
即，
联立上述两个方程，解得，，所以．
，
，
．
两式相减得
，
所以
16.解：设点，则，所以．
将代入，可得，
所以抛物线的标准方程为
抛物线的焦点，设直线的方程为，，，
因为，所以．
联立，得，
所以，即，
又，所以，解得．
所以．
17.解：由题意可知，，，所以．
又，
所以椭圆的方程为
设过点的直线方程为，点，，
联立得，
则，，
则．
又因为点到直线的距离．
令，解得，
所以，直线的方程为．
因为直线，直线，
所以．
因为，所以，
即，解得，所以点在直线上．
18.解：由题意，．
将点代入双曲线方程得，解得，．
所以，双曲线的方程为
设点，，直线方程为，
联立方程得，
所以，，
，．
设，则
，
即对任意恒成立．
所以，，，
解得，
所以，以为直径的圆恒过点．
．
由题意可知，代入双曲线方程可得，
设的中点为，则
，
所以，所以又，所以，，，四点共圆．
由相交弦定理得
19.解：当时，，
两式相减得，即．
累乘得．
经检验也符合上式，所以．
因为，所以，
所以，
假设存在正整数，，使得，，成等差数列，
则即，即，
显然是的正约数，又因为，所以，所以或，
当，即时，，
当，即时，．
所以，存在正整数，，使得，，成等差数列，
此时，或，．
由题意知，，
当时，，不等式成立．
当，因为，
所以．
因为，所以，，
所以时，，
综上，，即．
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