皖中名校联盟安徽省合肥八中2024-2025学年高二（上）期末数学试卷（PDF版，含答案）

皖中名校联盟合肥八中 2024-2025 学年高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 = √ 3 + 1的倾斜角为( )
5 2
A. B. C. D.
6 3 3 6
2.如图， 是三棱锥 的底面 的重心．若 = + + 2 ( 、 、 ∈ )，则 +
的值为( )
1 1 1
A. 1 B. C. D.
2 3 2
3.若两平行直线 + + 2 = 0与2 4 + = 0( > 0)之间的距离是√ 5，则 + =( )
A. 2 B. 12 C. 12 D. 14
4.已知向量 = ( , , )， = ( , , )，{ , , }是空间中的一个单位正交基底.规定向量积的行列式计
& & 算： × = | | |
& & & &
| + | | = (| | , | | , | |) ，其中行列式计算表示为
& & & & & &
&
| | = ，所得向量 × 垂直于向量 ， 所确定的平面.利用向量积可以计算由两个不共线向量确定
&
的平面的法向量.若向量 = (1,1,2)， = (3,2,1)，则平面 的法向量为( )
A. ( 3,5, 1) B. (4, 10,3) C. (1,5, 3) D. (3, 2,3)
1 1 1
5.已知等比数列{ }满足 + + = 2， 2 = 2，记 为其前 项和，则 3 =( ) 1 2 3
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
1
6.已知长方体 1 1 1 1中， = = 1，直线 1与平面 1所成角的正切值为 ，则点 到平2
面 1的距离为( )
√ 10 2√ 5 2√ 3 √ 3
A. B. C. D.
5 5 3 3
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2 2 2
7.如图， 1、 2是椭圆 1： 2 + 2 = 1与双曲线 2：

2 = 1的公共焦点， 、 分别是 1、 2 2
在第二、四

象限的公共点，若四边形 1 2为矩形，则 1的离心率是 ( )
1 √ 2 √ 3 √ 6
A. B. C. D.
2 2 2 2
8.已知曲线 : | | | | = 2，则下列结论中错误的是( )．
A. 曲线 与直线 = 无公共点
B. 曲线 上的点到直线 = 的最大距离是√ 2
C. 曲线 关于直线 = 对称
D. 曲线 与圆 2 + 2 = 3有三个公共点
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 2
9.已知曲线 : + = 1，则下列选项正确的有( )
3 1
A. 若1 < < 3，则 为椭圆
B. 若 为焦点在 轴上的椭圆，则2 < < 3
C. 若 为双曲线，则 > 3
D. 若 > 3，则 为焦点在 轴上的双曲线
10.已知数列{ }的前 项和为
2
= 7 + 6，则下列说法正确的是( )
A. = 2 8 B. 取得最小值时 = 3或4
1 1 1 6
C. + + + = D. 的最小值为2√ 6 7
5 6 6 7 28 29 25
11.在空间直角坐标系中，已知向量 = (1,2, 1)，点 0(3,1,4)，设点 ( , , )，下面结论正确的是( )．
1
A. 若直线 经过点 0，且以 为方向向量， 是直线 上的任意一点，则 3 = = 4 2
B. 若点 0， 都不在直线 上，直线 的方向向量是 ，若直线 0与 异面且垂直，则( 3) + 2( 1)
( 4) = 0
C. 若平面 经过点 0，且以 为法向量， 是平面 内的任意一点，则( 3) + 2( 1) ( 4) = 0
D. 若平面 经过点 0，且 为平面 的法向量，则平面 外存在一点 使得 0 ⊥ 成立
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知{ }为等差数列， 为其前 项和.若 2 = 3, 3 + 7 = 0，则 8 =__________．
13.如图，已知矩形 中， = 2， = √ 2，现将 沿对角线 折成二面角 ，使 ⊥ ，
则异面直线 和 所成角为___________．
14.已知 (2,1)， ⊥ 轴于点 ， 为射线 上任意一点， ⊥ 轴于点 ，点 为直线 上一点，且

| |
= 0，直线 与直线 相交于点 .已知点 (0, 1)， (0,1)，则 的最大值为_______________．
| |
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知{ }的前 项和为 ，且 = 2
+1 + , ( ∈ )．
(1)当 为何值时，数列{ }为等比数列，并求此时数列的通项公式；
(2)当 = 0时，设 = ，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题15分)
在平面直角坐标系 中，曲线 = 2 4 + 3与坐标轴的交点都在圆 上．
(1)求圆 的方程；
(2)设过点 (4, 2)的直线 与圆 交于 ， 两点，且 = 2，求 的方程．
17.(本小题15分)
2 2 √ 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，其四个顶点构成的四边形面积为2√ 2． 2
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 是 上异于 ， 的一点，不垂直于 轴的直线 交椭圆 于 ， 两点， // , // ．
①证明： 为定值；
② 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由．
18.(本小题17分)
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如图，平行六面体 1 1 1 1中，点 在对角线 1上， ∩ = ，平面 //平面 1 1 ．
(1)求证： = 2 1 ；

(2)若 1在底面上的投影是 ，且 = = 2, 1 = √ 6，∠ = ，求平面 与平面 1 夹角的余弦3
值．
19.(本小题17分)
已知点 1( + 2, )在抛物线 :
2 = 8 上，按照如下方法依次构造点 ( = 2,3, )，过点 1作斜率为 1的
直线与抛物线 交于另一点 1，令 为 1关于 轴的对称点，记 的坐标为( , ).
(1)求 的值；
(2)求证：数列{ }是等差数列，并求 , ；
(3)求 +1 +2的面积．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4
13.【答案】600
14.【答案】√ 2
15.【答案】解：(1)因为{ }的前 项和
+1
= 2 + ，所以 1 = 4 + ， 2 = 8 + ， 3 = 16 + ，
所以 1 = 4 + ， 2 = 2 1 = (8 + ) (4 + ) = 4， 3 = 3 2 = (16 + ) (8 + ) = 8，
若{ }是等比数列，则 1 3 =
2
2，求得 = 2．
当 = 2时， 1 = 1 = 2，
又当 ≥ 2时， = 1 = 2
，
则当 = 1时， 1 = 2也适合此通项公式.即 = 2 ， ∈ ，

由于 1 = 2对 ∈ 都成立，所以此时数列{ }为等比数列，
所以当 = 2时，数列{ }为等比数列，此时数列的通项公式为

= 2 ；
(2)当 = 0时， = 2 +1 ， =
+1
= 2 ，
则 2 = 1 × 2 + 2 × 2
3 + 3 × 24 + + 2 +1，
2 3 4 5 +2 = 1 × 2 + 2 × 2 + 3 × 2 + + 2 ，
22(1 2
所以 = 22 + 23 + 24 + + 2 +1 2 +2
)
= 2
+2 = (1 ) 2 +2 4，
1 2
故 = ( 1) 2
+2 + 4．
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16.【答案】解：(1)曲线 = 2 4 + 3与坐标轴的交点分别为(1,0)，(3,0)，(0,3)，
设圆的方程为 2 + 2 + + + = 0，
代入点坐标可解得 = 4， = 4， = 3，
从而圆的方程为 2 + 2 4 4 + 3 = 0，
即( 2)2 + ( 2)2 = 5;
(2)| | = 2得圆心(2,2)到直线距离为2，
当直线 斜率不存在时，方程为 = 4，满足题意，
直线 斜率存在时，设直线 1: + 2 = ( 4)，即 4 2 = 0，
| 2 4| 3
由题 = = 2，解得 = ，
4
√ 2 1+
3
所以直线方程为 + 2 = ( 4)，即3 + 4 4 = 0，
4
综上，从而直线 方程为 = 4或者3 + 4 4 = 0
1 √ 2
17.【答案】(1)由题意可知椭圆的四个顶点构成的四边形面积为 2 2 = 2√ 2，且 = = ，
2 2
2
所以 = √ 2， = = 1，椭圆的方程是 + 2 = 1
2
2
(2) ①由题意可得 ( √ 2, 0)， (√ 2, 0)，设 ( , )，可得 00 0 +
2
2 0
= 1，
2
即 2 + 2 2 = 2，则 = 0 0 = 0
1
0 0 = 0 √ 2 0+√ 2 20 2 2
1
因为 // ， // ，则 = = 2
②易知直线 的斜率存在，设直线 : = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
联立直线 = + 和 2 + 2 2 = 2，可得(1 + 2 2) 2 + 4 + 2 2 2 = 0，
4 2 2 2
可得∴ 1 + 2 = 2， 1 2 = 2，
1+2 1+2
1 2 = ( 1 + )( 2 + ) =
2 1 2 + (
2
1 + 2) + ，
2 2 4 2 2(2 +1) 1
由 =
1 2
=
2 + 2 + 2 = ， 1 2 2 2 2 2 2
1
可得 2 = 2 +
2
由弦长公式可得，| | = √ 1 + 2 · | | = √ 1 + 2 · √ ( + )21 2 1 2 4 1 2
2 2
4 2 2 2 √ 1 + 2√ 1 +
= √ 1 + 2 · √ ( )2 4( ) = · √ 16 2 2 8( 2 1)(2 2 + 1) =
1 + 2 2 1+ 2 2 1 + 2 2 √ 2 2 + 1
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1 2
| | √ + 2
点(0,0)到直线 的距离为 = == ，
√ 2 2 +1 √ +1
1 √ 2
所以 △ = | | = ， 2 2
√ 2
综上可知，△ 的面积为定值 ．
2
18.【答案】(1)证明：连 1 1交 1 1于 1，连 1．
在平行六面体 1 1 1中， 1 = 1且 1// 1，所以四边形 1 1是平行四边形， = 1 1
且 // 1 1，又 ， 1分别为 ， 1 1的中点，所以 = 1 1， // 1 1，
所以四边形 1 1是平行四边形，于是 1// 1 ，
因为平面 //平面 1 1 ，平面 ∩平面 1 1 = ，平面 1 1 ∩平面 1 1 = 1 ，所以 // 1 ，
因为 1， 都经过点 ，所以 ， ， 1三点共线．

所以△ ∽△ 1 1 11 1 ， = = 2，则 = 2 1

(2)解：因为 = = 2，∠ = ，则平行四边形 是菱形，
3
所以 = 2， = = 1， = √ 3
又 1在底面上的投影是 ， 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，以点 为原点，
分别以 ， ， 1所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
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则 1(0,0,√ 6)， (√ 3, 0,0)， (0,1,0)， (0, 1,0)，
所以 = ( √ 3, 0, √ 6) =
1
，于是 ( √ 3, 1,√ 6)，又 =
√ 3 2 √ 6
1 1 1 1，所以 = ( , , )， =3 3 3 3
( √ 3, 1,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，

则{ = 0,
= 0
√ 3 2 + √ 6 = 0
于是可得{ ，
√ 3 + = 0
不妨令 = 2，则 = (2.2√ 3, 3√ 2)，
2√ 3 √ 102
平面 1 的一个法向量为 = (0,1,0)，cos ， = = = ， | | | | √ 34 17
所以平面 与平面 夹角的余弦值为√ 1021 ． 17
19.【答案】解：(1)因为点 1( + 2, )在抛物线 :
2 = 8 上，可得( + 2)2 = 8 ，解得 = 2;
(2)证明：由(1)知： 1(4,2)，即 1 = 4， 1 = 2，
因为点 ( , )在抛物线 : 2 = 8 上，则
2
=
，且 1( , )，
8
2 2
过 1 1
1
1( 1, )，且斜率为 的直线 8 1 1: = ( )
，
8 1
2
1 = (
联立方程组{ 8 1
)
,
2 = 8
可得 2 + 8 8 2 1 1 = 0，
解得 = 1或 = 1 8，
所以 = 1 8，可得 1 = 8，
所以数列{ }是以首项为4，公差为8的等差数列，
2
所以 = 4 + 8( 1) = 8 4，

2 = = 2(2 1) ． 8
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(3)由(2)知： (8 4,2(2 1)
2)， +1(8 + 4,2(2 + 1)
2)， 2 +2(8 + 12,2(2 + 3) )，
过点 作 ⊥ 轴于点 ，则四边形 +1 +1为直角梯形，
可得梯形 +1 +1的面积为：
1 1
2 2 2 = | |(| | + | +1 +1 2 +1 +1
+1|) = [2(2 + 1) 2(2 1) ](8 4 + 8 + 4) = 128 ， 2
同理可得 2 = 128( + 1) +1 +1 +2 +2 ，
又由梯形 +2 +2的面积为：
1 1
2 2 = | |(| | + | |) = [2(2 + 3) 2(2 1) ](8 4 + 8 + 12) = +2 +2 2 +2 +2 +2 2
64(2 + 1)2，
则△ +1 +2的面积为：
= +
2 2 2
+1 +2 +1 +1 = 128 + 128( + 1) 64(2 + 1) = 64 +1 +1 +2 +2 +2 +2 ．
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