6.1.4 数乘向量 课件（共15张PPT） 2024-2025学年人教B版高中数学必修第二册
文档属性
| 名称 | 6.1.4 数乘向量 课件（共15张PPT） 2024-2025学年人教B版高中数学必修第二册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 865.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-25 19:12:24 | ||
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文档简介
(共15张PPT)
第六章
6.1.4 数乘向量
1.了解数乘向量的概念并理解数乘运算的几何意义.（数学抽象）
2.理解并掌握数乘向量的运算律，会进行向量的数乘运算.（数学运算）
添加标题
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我们已经知道，多个向量相加，结果是一个向量.特别地，给定一个向量 a，3 个 a 相加 a + a + a 的结果，是一个模为 3 a 、方向与 a 相同的向量，如图所示（1），通常这个向量简记为 3a，即 a + a + a = 3a ；3 个 a 相加 a a a 的结果，是一个模为 3 a 、方向与 a 相反的向量，如图（2）所示，通常这个向量简记为 3a，即 a a a = 3a.
a
3a
（1）
a
3a
（2）
你能根据上述实例，给出实数 λ 与任意一个向量 a 的乘积 λa 的定义吗？
一般地，给定一个实数 λ 与任意一个向量 a，规定它们的乘积是一个向量，记作 λa，其中：
（1）当 且 a ≠ 0 时，λa 的模为 λ a ，而且 λa 的方向如下：
① 当 λ＞0 时，与 a 的方向相同；
② 当 λ＜0 时，与 a 的方向相反.
（2）当 λ = 0 或 a = 0 时，λa = 0.
知识点一 向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫作向量的________，记作________，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向______；
当λ<0时，λa的方向与a的方向______．
(3)当λ＝0时，λa＝0.
向量
数乘
λa
相同
相反
点拨：理解数乘向量应注意的问题
(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．
(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋，λ－均没有意义．
知识点二 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使____________．
向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝0，≠，则不存在实数λ，使得＝λ.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.
b＝λa
题型1 用已知向量表示其它向量[经典例题]
例1 如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和.
【解析】 在 ABCD中，
＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b.
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
＝－＝－ (a＋b)＝－a－b，
＝＝ (a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，
＝－＝－a＋b.
方法归纳
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
题型2 向量共线条件的应用
例2 已知＝－e，＝5e，判断A，B，C三点是否共线．如果共线，求出AB∶AC.
【解析】 由已知可得＝－5，
因此A，B，C三点共线，且AC＝5AB，即
AB∶AC＝1∶5.
教材反思
向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
1.已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于( )
A.－9 B．－4
C．4 D．9
由，共线，得＝m，建立等式求λ．
解析：(1)由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.
由于e1，e2不共线，所以
所以λ＝－4.
B
2.设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A.10 B．－10
C．2 D．－2
A、B、D三点共线，设＝λ，建立等式求k .
C
解析：因为A，B，D三点共线，所以＝λ＝λ(－)，
所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，
所以λ＝1，k＝2.
3.如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________．
结合图形：由已知得＝2，分别用1，2表示，．
解析：因为∥，||＝2||，所以＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
e2＋e1
e1－e2
1.数乘向量的定义
2.向量的加法与数乘向量的混合运算
3.向量的线性运算的定义及运算法则
第六章
6.1.4 数乘向量
1.了解数乘向量的概念并理解数乘运算的几何意义.（数学抽象）
2.理解并掌握数乘向量的运算律，会进行向量的数乘运算.（数学运算）
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我们已经知道，多个向量相加，结果是一个向量.特别地，给定一个向量 a，3 个 a 相加 a + a + a 的结果，是一个模为 3 a 、方向与 a 相同的向量，如图所示（1），通常这个向量简记为 3a，即 a + a + a = 3a ；3 个 a 相加 a a a 的结果，是一个模为 3 a 、方向与 a 相反的向量，如图（2）所示，通常这个向量简记为 3a，即 a a a = 3a.
a
3a
（1）
a
3a
（2）
你能根据上述实例，给出实数 λ 与任意一个向量 a 的乘积 λa 的定义吗？
一般地，给定一个实数 λ 与任意一个向量 a，规定它们的乘积是一个向量，记作 λa，其中：
（1）当 且 a ≠ 0 时，λa 的模为 λ a ，而且 λa 的方向如下：
① 当 λ＞0 时，与 a 的方向相同；
② 当 λ＜0 时，与 a 的方向相反.
（2）当 λ = 0 或 a = 0 时，λa = 0.
知识点一 向量数乘运算
实数λ与向量a的积是一个__________，这种运算叫作向量的________，记作________，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|.
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向______；
当λ<0时，λa的方向与a的方向______．
(3)当λ＝0时，λa＝0.
向量
数乘
λa
相同
相反
点拨：理解数乘向量应注意的问题
(1)向量数乘的结果依然是向量，要从长度与方向加以理解．
(2)实数与向量可以相乘，但是不能相加、减，如λ＋，λ－均没有意义．
知识点二 共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使____________．
向量共线定理的理解注意点及主要应用
(1)定理中≠不能漏掉. 若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝0，≠，则不存在实数λ，使得＝λ.
(2)这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s＝，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s＝，则必有t＝s＝0.
b＝λa
题型1 用已知向量表示其它向量[经典例题]
例1 如图， ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和.
【解析】 在 ABCD中，
＝＋＝a＋b，
＝－＝a－b.
由平行四边形的两条对角线互相平分，得
＝－＝－ (a＋b)＝－a－b，
＝＝ (a－b)＝a－b，
＝＝a＋b，
＝－＝－a＋b.
方法归纳
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法
(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
题型2 向量共线条件的应用
例2 已知＝－e，＝5e，判断A，B，C三点是否共线．如果共线，求出AB∶AC.
【解析】 由已知可得＝－5，
因此A，B，C三点共线，且AC＝5AB，即
AB∶AC＝1∶5.
教材反思
向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若＝λ，则与共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
1.已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－3e2，b＝λe1＋6e2，若a，b共线，则λ等于( )
A.－9 B．－4
C．4 D．9
由，共线，得＝m，建立等式求λ．
解析：(1)由a，b共线知a＝mb，m∈R，于是2e1－3e2＝m(λe1＋6e2)，即(2－mλ)e1＝(6m＋3)e2.
由于e1，e2不共线，所以
所以λ＝－4.
B
2.设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量＝a－kb，＝2a＋b，＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于( )
A.10 B．－10
C．2 D．－2
A、B、D三点共线，设＝λ，建立等式求k .
C
解析：因为A，B，D三点共线，所以＝λ＝λ(－)，
所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，
所以λ＝1，k＝2.
3.如图，ABCD是一个梯形，∥且||＝2||，M，N分别是DC，AB的中点，已知＝e1，＝e2，试用e1，e2表示下列向量．
(1)＝________；
(2)＝________．
结合图形：由已知得＝2，分别用1，2表示，．
解析：因为∥，||＝2||，所以＝2，＝.
(1)＝＋＝e2＋e1.
(2)＝＋＋＝－－＋＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.
e2＋e1
e1－e2
1.数乘向量的定义
2.向量的加法与数乘向量的混合运算
3.向量的线性运算的定义及运算法则